Examen Topologie | Adhérence – Borne supérieure

Thèmes :

Exercice 1: Espace métrique / Boule fermée / Adhérence / Boule ouverte
Exercice 2: Norme / Homéomorphisme
Exercice 3: Borne supérieure / Ensemble borné / Sup / Inf / Vecteur unitaire / Hyperbole / Asymptote / Diamètre
Exercice 4: Classe C1 / Théorème du point fixe / Suite / Partie ouverte / Image réciproque / Partie bornée / Espace métrique / Diamètre / Espace compact / Suite
Exercice 5: Espace métrique / Théorème du point fixe / Espace compact

Extrait :

exercice 1.

Montrer que dans tout espace métrique (E,d), une boule fermée est un fermé, mais que l’adhérence d’une boule ouverte B(a,r) ne coïncide pas nécessairement avec la boule fermée (a,r)
(on pourra considérer dans et la boule centrée en de rayon

Exercice 2.
Soient une norme sur telle que
Soit définie par la formule
1- Montrer que
2. Montrer que pour tout il y a exactement un tel que f(x) = 2.

3. En déduire que f est un homéomorphisme.

Exercice 3.

1. Rappeler les definitions d’une borne supérieure (inférieure) d’un ensemble de nombres reels.
Si A et B sont deux ensembles bornés non vides de ℝ, comparer avec sup A, inf A, sup B et
inf B les nombres suivants :

(a) sup(A + B),
(b) sup(A U B),
(C) sup(A ∩ B),
(d) inf(A U B),

(e) inf(A 0 B).

2. Pour et , on définit. Trouver
où et D est la. droite de vecteur unitaire (0, b, c).

3. Pour on définit Trouver d(A,B) lorsque A est une
branche de hyperbole et B une asymptote.

4. On définit

Exercice 4.

Soit f une application de classe de ℝ dans ℝ.On suppose que a est un point fixe de f tel que
Soit X l’ensemble des reels x tels que la suite récurrente définie par
soit convergente de limite a.
On se propose de démontrer que X est un ouvert.
1. Montrer que si

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