Examen Topologie | Boule ouverte – Distance

Thèmes :

Exercice 1: Espace métrique / Distance / Espace compact / Espace connexe / Espace vectoriel / Fonction uniformément continue / Espace vectoriel normé
Exercice 2: Espace topologique / Ensemble connexe
Exercice 3: Distance / Application continue / Boule ouverte / Projection
Exercice 4: Espace topologique / Application continue / Homéomorphisme / Espace compact
Exercice 5: Espace métrique / Théorème du point fixe / Valeur d’adhérence / Suite

Extrait :

Exercice 1 (5 points)

Soient (X,d) un espace métrique non vide, ω ∉ X et Y = X U {ω}-. Soit ∈ X.
On pose: δ(ω,ω)=0 , δ(x,y)=d(x,y)si(x,y) ∈ ,
δ(ω,x)=δ(x,ω))=1+d(xo,x) si x ∈ X.
1) Montrer que δ est une distance sur Y.
2) Montrer que si X est compact, Y l‘est aussi.
3) Montrer que Y n’est pas connexe.
4) Soit l’ensemble des fonctions réelles sur Y nulles en ω.
Montrer que est un ℝ espace vectoriel.
5) On note et
a) Montrer que les fonctions f de E sont uniformément continues.
b) Montrer que E est un espace vectoriel et que, muni de ||.||, c’est un espace vectoriel normé.

Exercice 2 (4 points)

1) Soient E un espace topologique et des sous-ensembles connexes de E tels
que Montrer que la réunion des est connexe.
2) Soit E un espace topologique tel que pour tout couple (x, y) de points de E, il existe
une partie ∆ connexe de E contenant x et y.
Montrer que E est connexe.

Exercice 3 4 points)
On munit de la distance d [(x, y), (x’, y’)] = sup(|x — x’|, |y —y’|).

Soit ∆ = {(x, x), x ∈ ℝ} et
a) Montrer que et sont continues sur
b) En déduire que E est ouvert dans
c) Montrer que E est reunion dénombrable de boules ouvertes pour d.
d) Montrer que {(x, y) ∈, xy ≠ 1} est ouvert dans
e) Soit p : ,p[(x,y)]=x, la projection de sur ℝ. En utilisant
d), montrer que I’image d’un fermé n’est pas toujours fermé.
Exercice 4 (5 points)
Soient X et Y deux espaces topologiques et f 2 X —> Y une application.
On appelle graphe de f, noté G(f), le sous—ensemble du produit X x Y défini par :
G(f) = {(x, f(x)),x ∈ X}.
Montrer que si f est continue, alors son graphe G(f) est fermé dans X × Y.
Montrer que l’application g : X —> G(f), x —>(x, f(x)) est une bijection de X sur G(f)
On considère G (t) comme sous-espace de l’espace de topologique produit X x Y

Aperçu :

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