Examen Topologie | Adhérence – Application fermée

Thèmes :

Exercice : Espace topologique / Application ouverte / Application fermée / Injection canonique / Adhérence / Intérieur / Injectivité / Surjectivité
Partie A : Espace métrique / Boule ouverte / Boule fermée / Axiomes distance
Partie B : Application lipschitzienne / Ensemble fermé
Partie C : Epsilon saucisse de Minkowski / Réunion de boules / Intersection de boules
Partie D : Suites convergentes
Partie E : Partie compacte / Partie fermée
Partie F : Ensembles disjoints / Partie connexe / Ouverts disjoints
Partie G : Espace métrique compact / Adhérence / Boule fermée / Réunion d’ouverts / Boule ouverte / Connexe

Extrait :

Exercice

Soit f: E —> F une application d’un espace topologique E dans un espaee topologique F. On dit que
l’application f est ouverte (resp. fermée) si l’image de tout ouvert (resp. fermé) de E par f est un ouvert
(resp. fermé) de F.
1) Montrer que f est ouverte si et seulement si, pour toute partie A de E, f
3) Montrer que f est fermée si et seulement si, pour toute partie A de E, ⊂
2) Montrer que l’injection canonique
4) Montrer que l’injection canonique d’une partie A de E dans E est fermée si et seulement si A est un fermé de E.
5) Soit g 2 F ——> G une application de l’espace topologique F dans un espace topologique G.
i) Montrer que si f et g sont ouvertes , alors g o f est ouverte.
ii) Montrer que si g o f est ouverte et si g est injective et continue, alors f est ouverte.
(On pourra d‘abord montrer que pour toute partie U de E, (g⁻¹(g o f))(U) = f (U).)
iii) Montrer que si g o f est fermée et si f est surjective et continue, alors g est fermée.
(On pourra d’abord montrer que pour toute partie V de F, g (V) = ((g o f) f⁻¹(V)).)

Probléme
Soient (E, d) un espace métrique et A, B deux parties non vides de E.

Pour tout point x de E et tout réel ε > 0, on note β(x, ε) la boule ouverte de centre x et de rayon 2 et ε
la boule fermée de centre x et de rayon ε.
Pour tout x ∈ E, on pose
On définit

Question préliminaire

Rappeler les axiomes que vérifie la distance d.

Partie A

Si A est réduit à un seul point a, on écrit d(a, B) au lieu de d({a}, B).
On suppose que E = ℝ², muni de la distance d₂.

Calculer d(A, B) dans chacun des cas suivants :

1) A={(0,0)} ; B={(1, 1)};
2) A=β((0,0),1) ; B=βᵣ((2.0),1);
3) A={(x.y);y≤0} ; B={(x,y);y≥1}.

est ouverte si et seulement si A est …

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