Thèmes :
Exercice 1: Espace vectoriel normé / Boule unité fermée / Espace vectoriel fermé / Distance / Adhérence
Exercice 2: Distance / Boule fermée / Recouvrement / Compact
Exercice 3: Espace topologique / Propriété du point fixe / Fonction continue / Connexe / Ouvert / Fermé / Espace homéomorphe
Extrait :
Examen Topologie | Adhérence – Boule
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel normé, muni de la norme ||.||. On note β sa. boule unité fermée,
l’ensemble des éléments de E de norme inférieure ou égale à 1. Soit F un sous espace vectoriel fermé de E.
La distance d’un point x ∈ E à F est alors le réel
Montrer que pour tout x de E on a d(x, F) ≤ ||x||.
Montrer que si λ est un réel, alors d(λx, F) = |λ|d(x, F) (on pourra considérer d(λx,λy) quand y parcourt F).
Montrer que pour tout y de F, on a d(x + y,F) = d(x,F)
Montrer que si d(x, F) = O, alors x ∈ 
On suppose que F ≠ E. Montrer qu‘alors il existe x ∈ E tel que d(x, F) ≠ 0. En déduire qu’il existe
x ∈ β tel que d(x,F) ≠ 0.
Soit x ∈ E tel que d(x,F) = ∝ ≠ 0. Montrer que pour tout ε > 0, il existe un y ∈ F tel que d(x,y) ∈ [∝,∝(1 + ε)[
On pose 
En déduire que pour tout sous espace vectoriel fermé de 
Exercice 2. Soit E l’ensemble des suites infinies de nombres réels x = (x₁,x₂,…) à valeurs dans {0, 1}.
Si x et y sont deux éléments de E, on pose
Montrer que d est une distance sur E.
Soit ε > O ; montrer qu’il existe une partie finie 
fermées de rayon ε centrées en un point de
Montrer que E est compact.
Exercice 6. On dit qu’un espace topologique possède la. propriété du point fixe si toute fonction continue
de X dans X admet un point fixe.
On suppose que X n’est pas connexe. Montrer qu’un peut écrire X = X₁ U X₂, avec X₁ et X₂
deux ouverts fermés de X tels que X₁ ∩ X₂ = ⊘.
Soient x₁ ∈ X₁ et x₂ ∈ X₂ deux points de X . On considère l’application f telle que
∀x∈ X₁,f(x)=x₂,∀x∈ X₂,f(x)=x₁,
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