Partiel Groupes | 3-cycles - Anneau - Licence de Mathématique

Thèmes :

Exercice 1 : Anneau / Classe / Groupe des inversibles / Ordre / Groupe cyclique
Exercice 2 : Sous groupe / Indice d’un sous groupe / Sous groupe normal
Problème : Simplicité / Groupe alterné / Produit direct / Théorème du produit direct / Signature / Permutation / Noyau / Morphisme / Générateur / 3-cycles / Produits de transposition à support disjoint / Transposition / Sous groupe normal / Ordre d’un élément / Sous groupes normaux de An / Elément neutre / Normalisateur / Conjugués / Isomorphisme / 5-cycle

Extrait :

Partiel Groupes | 3-cycles – Anneau

Exercice I On considère Parmeau $A=Z/{ 2 }^{ k }Z$ où k désigne un entier >l Pour tout entier n, on
notera [n] la classe de n dans cet anneau

On note ${ G }_{ k }$ le groupe des inversibles de Panneau $Z/{ 2 }^{ k }Z$ .
I- Déterminer ${ G }_{ k }$ pour k= 2, k=3r
Dans la suite, on suppose Ic>3
2- Monter que si 2k et n sont premiers entre eux la. classe de n dans $Z/{ 2 }^{ k }Z$ est un élément de Gk
3- Quel est l’ordre du groupe ${ G }_{ 1 }$ . ?
4- Montrer que $[{ 2 }^{ k }-1],[{ 2 }^{ k-1 }+1],[{ 2 }^{ k }-1]$ sont des éléments. de A d’ordre 2.
5- Soit H un groupe cyclique d’ordre 2m. Combien H possède —t—il Œéléments‘ Œordre. 2′;
6- Le groupe ${ G }_{ 1 }$ ; est-il cyclique ?
Question subsidiaire :
7- Le groupe des inversibles de Z/pZ est-il cyclique si p est premier Î?‘
Exercice 2 : Soit G un groupe H un sous-groupe de G (Yindice- 2.
1 Montrer que H est normal dans G
2. Quels sont les sous-groupes de G qui contiennent H ‘.7
Problème-
Orr se propose de- démontrer la simplicité du groupe alterné ${ A }_{ n }$ pour
$n\ge 5$
0) Produit direct de deux groupes
Enoncer le théorème caractérisant le produit direct de deux groupes
1)-La signature
Qwappelle-t-on signature d’une permutation ?’
Quel est le noyau du morphisme signature ?
2) Les générateurs du groupe alterné ${ A }_{ n }$ .
Montrer que pour $n\ge 5$ , An est engendré :
i) par les E-cycles, –
ii) par les produits de deux transpositions à supports disjoints.
3) Décomposition d’un élément de ${ S }_{ n }$
Soit s une permutation et t une transposition
3.1 Quelle est la décomposition en produit de cycles à supports disjoints de Pélément stsﬂt’?
3.2 En déduire que tout sous-groupe normal de ${ S }_{ n }$ est {e}, A. ou S…
3.3 Déterminer l’ordre de Félément sts”t en fonctionde sa décomposition?
4) Les sous-groupes normaux de ${ A }_{ n }$
‘Soit H un sous-groupe normal de An non réduit à Pélement neutre e.
4.l- Montrer que le normalisateur de H dans Sn est soit An soit ${ S }_{ n }$
Que se passe-t-il si le normalisateur de H est ${ S }_{ n }$
4.2- On se place dans le cas où le normalisateur de H est ${ A }_{ n }$
4.2.1-Monter que H a exactement deux conjugués dans ${ S }_{ n }$ et que H et tHt où t est une transposition
-( On remarquera que : si s appartient à ${ A }_{ n }$ alors ${ ts }^{ -1 }t$