Examen Groupes | Classe à gauche - Conjugué

Thèmes :

Exercice 1: Ordre d’un élément / Ordre infini
Exercice 2: Matrice / Groupe / Opération / Homomorphisme / Image / Noyau
Exercice 3: Permutation / Décomposition en cycles disjoints / Ordre / Conjugué / Signature / Décomposition en produit de 3-cycles
Exercice 4: Groupe multiplicatif / Sous groupe / G/H / Ensemble des classes à gauche / Opération / Morphisme de groupe / Noyau / Morphisme
Exercice 5: Groupe des quaternions / Matrice carrée / Corps des nombres complexes / Groupe multiplicatif / Sous groupe de H8 / Sous groupe normaux de H8 /

Extrait :

Examen Groupes | Classe à gauche – Conjugué

1.(a) Déﬁnir l’ordre d’un élément d’un groupe G
(b) Montrer que si G est un groupe fini et g ∈ G,alors ord(g) est un diviseur de |G|
(c) Montrer que si g ∈ G et ${ g }^{ n }$ = e, alors ord(g)|n
(d) Donner un exemple d’un groupe qui contient des éléments d’ordre fini et des éléments d’ordre infinies

2. Soit G l’ensemble des matrices 3×3 de la forme
$(\begin{matrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
pour x,y,z ∈ ℝ
(a) Montrer que G est un groupe sous l’opération de mutiplications des matrices
(b) soit H le groupe de muni de l’opération de ${ (a }_{ 1 }.{ b }_{ 1 })+({ a }_{ 2 }.{ b }_{ 2 })=({ a }_{ 1 }+{ b }_{ 1 },{ b }_{ 2 }+{ b }_{ 2 })$
soit $\phi :G\rightarrow H$ l’application qui associe a la matrice (1) le couple (x,z).Montre que ∅ est un homomorphisme, et identie son image et son noyau
3. Combien y-a-t’il de permutation d’ordre 4 dans ${ A }_{ 7 }$ ?
On considère les deux permutation dans ${ S }_{ 7 }$
$\sigma =(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})$ et $\daleth =(\begin{matrix} 1 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$
1. Donner les décomposition en cycles disjoints de $\sigma \quad et\quad \daleth$
2. Calculer l’ordre de $\sigma \quad et\quad \daleth$ . Ces deux permutations sont elles conjuguées?
3. Calculer la signature de ${ \sigma }^{ 6 }\quad et\quad { \daleth }^{ -7 }$
4. Combien y-a-t’il d’élément de ${ S }_{ 7 }$ qui sont conjugués à $\daleth$
5.Décomposer $\daleth \circ { \sigma }^{ -1 }$ produit de 3-cycle,si c’est possibles
4 Soit G un groupe multiplicatif, H un sous-groupe de G, on note G/H l’ensemble des
classes a gauche xH de G modulo H.
Montrer qu’on déﬁnit une opération de G sur G/H par l’application
G x G/H —> G/H
(g.xH)—->gxH
Quel est le morphisme de groupes σ associé a cette operation ?
Montrer que le noyau de ce morphisme est :
Montrer que si p est le plus petit nombre premier divisant l’ordre de G et si H est
d’indice p alors H est normal dans G. ( On pourra étudier Ie groupe G/ker∅)