Examen Groupes | Automorphisme – Centralisateur

Thèmes :

Exercice 1: Groupe multiplicatif
Exercice 2: Centralisateur / Sous groupe / Groupe symétrique / Ordre / Sous groupe alterné / Sous groupe normal / Classe / Opération par conjugaison / Stabilisateur / Indice d’un sous groupe / Automorphisme / Cycle
Exercice 3: Sous groupe de Sylow / Produit direct / Isomorphisme / Groupe non commutatif

Extrait :

Exercice 1
Montrer qu’un groupe multiplicatif G est commutatif si et seulement si on a :

∀(a,b) ∈ G² (ab)⁵ = a⁵b⁵, (ab)³ = a³b³
Exercice 2

Soit G un groupe multiplicatif d’élément neutre e , et x un élément de G. On note
C(x)={g ∈ G/ xg=gx} le centralisateur de x dans G
1) Montrer que C(x) est un sous—groupe de G
2) Que signifie l’égalité C(x)=G ?
3) On considère le groupe symétrique G=S4
i) Expliciter les éléments d’ordre 2 de S4 .

ii) Quels sont les ordres possibles pour Ies éléments de 34
iii) Déterminer le centralisateur de la transposition (1,2).
iii) Déterminer les éléments d’ordre 2 de A4, sous-groupe alterné de S4. Montrer que
l’ensemble des éléments de A4 d’ordre 1 ou 2 est un sous—groupe normal H de A4. H
est-il normal dans S4 ?
iv) Déterminer tous les sous—groupes de H normaux dans S4.
v) Déterminer les classes de H dans A4.
4) soit x un élément de A4. On fait opérer A4 sur lui-même par conjugaison.
i) Montrer que le stabilisateur de x est C(x) te centralisateur de x dans A4. Que
représente |’indice de C(x) dans A4 ?
ii) Montrer que C(x) est d’ordre 4. (Considérer un 3-cycle). En déduire que les
éléments d’ordre 2 de H sont conjugués dans A4.
5) On considère les automorphismes de A4.
Soit f un automorphisme de A4.
i) Que peut-on dire de I’image d’un élément de H par f ?
ii) Montrer que l’image d’un 3—cycle est un 3—cycle
iii) Montrer que tout élément y de S4 induit un automorphisme de A4 par restriction
de int(y) à A4.
iv) En déduire un morphisme de groupe ψ de S4 dans AutA4, le groupe des
automorphismes de A4
v) Déterminer le noyau de ψ.
6) Déterminer AutA4.

Exercice 3

1 Déterminer pour chaque premier p Ies valeurs possibles du nombre Np de p-sous-
groupes de Sylow de G
2 On suppose que pour tout premier p divisant 168 on a Np=1.
Soient H, K, L les 2—Sylow, 3—Sylow et 7-Sylow de G.
a) Que peut-on dire de ces trois sous-groupes de G ?
b) Montrer que G est produit direct de ces trois sous—groupes.
3 Quels sont à isomorphisme prés les groupes abéliens d’ordre 168 ?
4 Donner des exemples de groupes d’ordre 168 non commutatifs.

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