Examen Groupes | Automorphisme – Groupe commutatif

Thèmes :

Exercice 1: Ordre d’un élément
Exercice 2: Sous groupes / Groupe commutatif / Isomorphisme / Morphisme de groupe / Image / Noyau / Sous groupe normal / Sous groupe distingué
Exercice 3: Groupe symétrique S4 / Sous groupe alterné A4 / Sous groupe normal / Groupe isomorphe
Exercice 4: Sous groupe normal / Isomorphisme entre les sous groupe de H dans G et les sous groupes de G/H / Théorèmes de Sylow / Groupe cyclique / Groupe des automorphismes / Sous groupe de Sylow / Groupe non commutatif / Groupe commutatif

Extrait :

I Ordre d’un élément

Soit (G, *) un groupe fini.
Montrer que pour tout a et b, l’éléments de G on a :

a et a⁻¹ ont même ordre,
a et b*a *b⁻¹ ont même ordre,
a*b et b*a ont même ordre.

II Des sous-groupes de GL₂(R)
Soient et

Montrer que H et T sont deux sous-groupes de GL₂(R),
Montrer que H n’est pas commutatif et que T est isomorphe à R,
Montrer que l’application de H dans R*×R* donnée par
morphisme de groupes dont on déterminera l’image et le noyau.
Prouver par deux méthodes que T est normal dans H. Montrer que T n’ est pas
normal dans G.

III Sur le groupe symétrique de S₄

On considère le groupe symétrique S₄ et son sous-groupe alterné A₄, e désigne l’élément neutre.

1 Soit V₄= {e, (12)(34), (13)(24), (23)(14)}
Montrer que V₄ est un sous—groupe normal de S₄.
A quel groupe V₄ est-il isomorphe ?
On pose H= {e, (12)(3 4)}
Montrer que H est normal dans V₄ mais pas clans S₄.
Montrer que S₄/V₄ est isomorphe e S₃.
Soit K un sous-groupe d’ordre 12 de S₄.
Montrer que K=A₄
Montrer que A₄ n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.
IV Sur les groupes d’ordre 30
A) Soit H un sous-groupe normal d’un groupe fini G. Quelle relation précise existe-t-il entre les sous-groupes de G et ceux de G/H ?
B) Enoncer les théorèmes de Sylow pour un groupe fini G.
C) Montrer, en considérant ses sous-groupes de Sylow, que tout groupe K d’ordre 15 est
cyclique. Déterminer le groupe des automorphismes de K, quel est son ordre ?
D) Dans cette partie G désigne un groupe d’ordre 30.
– Quels sont les nombres de sous-groupes de Sylow de G possibles pour chaque
premier p divisant 30?
A quels groupes sont isomorphes chacun des sous-groupes de Sylow de G?
En comptant les éléments de G d’ordre 3 et ceux d’ordre 5, montrer que G a
soit un seul 3-sous-groupe de Sylow, soit un seul 5-sous-groupe de Sylow.
On note H ce sous-groupe de Sylow.
– Montrer en considérant G/H que G contient un sous-groupe K d’ordre 15 et
que K est un sous-groupe normal de G

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