Partiel Géométrie | Barycentre - Dilatation

Thèmes :

Questions de cours : Simple / Fidèle / Transitive / Espace affine / Sous espace affine / Application affine / Barycentre / Dilatation / Parallélogramme
Exercice 1 : Espace affine / Isobarycentre / Parallélogramme / Application affine / Sous espace affine / Homothétie / Théorème de Ménélaüs / Théorème de Ceva

Extrait :

Partiel Géométrie | Barycentre – Dilatation

Enoncer des caractérisations de: opération de groupe;opération de groupe a):simple b):fidèle c) transitive; espace,sous-espace affine, barycentre,dilitation,parallélogramme TUVW:
I) On considèreun espace affine E
A) Soit (A,B,C,D,E,F)∈ ${ E }^{ 6 }$ , G l’isobarycentre de A,B,C et H isobarycenter de D,E,F;montrer que:
1)Etant donné(A’,B’,C’) ∈ ${ E }^{ 3 }$ et G’ l’isobarycentre de A’,B’,C’, on a $\bar { AA' } +\bar { BB' } +\bar { CC' } =3\bar { GG' }$ ;
2) $\bar { AD } +\bar { BE } +\bar { CF } =\bar { AE } +\bar { BF } +\bar { CD } =\bar { AF } +\bar { BD } +\bar { CE } =3\bar { GH }$
3) Etant donneé (P,Q)∈ ${ E }^{ 2 }$ ,si BDCP et EAFQ sont des parallélogramme,alors £LATEX \bar { PQ } =3\bar { GH }$
4) G=H si,et seulement si,il existe M ∈ E tel que BCDM et EAFM sont des parallélogrammes
B) Détérminer l’ensemble des applications affines f:E->E telles que,pour tout u ∈ $\bar { E }$ , f o ${ t }_{ u }$ = ${ t }_{ u }$ o f
C) Montrer que,si G est un sous-groupe fini de GA(E),alors il existe C ∈ E tel que,pour tous g ∈ G,g(C)=C
D) On considère R et S sous-espace affines de E.Montrer que:
1) Etant donnée A ∈ R,B ∈ S, u ∈ $\xrightarrow { R }$ , et v ∈ $\xrightarrow { S }$ , si £LATEX \xrightarrow { AB }$ = u + v,alors A + u = B – v ∈ R ∩ S;
2) Si R ∩ S = ⊘,alors a) $\xrightarrow { R }$ + $\xrightarrow { S }$ ≠ $\xrightarrow { E }$ . b) (A+( $\xrightarrow { R }$ + $\xrightarrow { S }$ ))∩(B+( $\xrightarrow { R }$ + $\xrightarrow { S }$ ) = ⊘
c) :il existe T et U sous-espace affine de E tels que :R ⊂ T,S ⊂ U,T||U, Et T ∩ U = ⊘
:il existe J et H sous-espace affines de E tels que : J ⊂ R,H ⊂ S,J||H, et J ∩ H = ⊘
E)Etant donnée(I,J,K) ∈ ${ E }^{ 3 }$ et (a,b,c) ∈ ( ${ ℝ }^{ * }$ ),montrer que,si les homorthéties ${ h }_{ I,a, }{ h }_{ J,b, }{ h }_{ k,c }$ de E verifient: ${ h }_{ I,a }\quad o\quad { h }_{ J,b }\quad o\quad { h }_{ k,c }={ Id }_{ E }$ , alors I,J,K, sont alignés
2)Soit A,B,C,3 points non aligné de E, et I ∈ (BC), J ∈ (CA),K ∈ (AB),K (AB), tels que {I,J,K} ∩ {A,B,C}=⊘.Montrer: