Examen Géométrie | Antidéplacement - Coplanaire

Thèmes :

Questions de cours: Déplacement / Antidéplacement / Plan vectoriel / Plan affine / Espace vectoriel / Espace affine / Droite vectorielle / Droite affine
Exercice 1: Plan affine euclidien / Composé de 2 symétries / Translation / Droites / Vecteur
Exercice 2: Espace affine euclidien / Demi tours / Droites parallèles / Translation de vecteur / Rotation / Coplanaire / Vissage / Trièdre trirectangle
Exercice 3: Aire / Triangle / Triangle équilatéral / Droites perpendiculaires

Extrait :

Examen Géométrie | Antidéplacement – Coplanaire

Énumérer les types de déplacements
et d’antidéplacements : du plan Vectoriel $\xrightarrow { { E }_{ 2 } }$ du plan affine E₂
: de l’espace vectoriel $\xrightarrow { { E }_{ 3 } }$ de l’espace afﬁne E₃;

: de la droite Vectorielle $\xrightarrow { { E }_{ 3 } }$ de la droite affine E₁.

1) On considère un plan afﬁne euclidien P.
A) Etant donné 2 droites D, D’
déterminer la nature et les éléments caractéristiques
de la composée des deux symétries ${ S }_{ D }$ et ${ S }_{ { D }^{ ' } }$ .
B) Etant donné $u\in \bar { P }$ , f ∈ Iso(P), et $g=f\o { t }_{ u }\o { f }^{ -1 }$ ,
1) montrer que g est une translation ; 2) calculer g(f(M)) ; 3) montrer que $g={ t }_{ \bar { f } (u) }$

C) Etant donné $u\in \bar { P }$ , $v\in \bar { P }$ , et D une droite de P :
1) Vérifier que ${ t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { t }_{ u }\o { S }_{ D }={ Id }_{ p }$ si, et seulement si,
${ t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { = }{ S }_{ D }\o { t }_{ -u }$ .
2) Déduire de 1) et B) que: ${ t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { = }{ S }_{ D }\o { t }_{ v }$ si, et seulement si,
$v\in \bar { D }$
${ t }_{ v }\o { S }_{ D }\o { = }{ S }_{ D }\o { t }_{ -v }$ si, et seulement si, $v\in \bar { { D }^{ \bot } }$
D) Etant donné 3 droites D₁, D₂, D₃, h = ${ S }_{ { D }_{ 1 } }\o { S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 3 } }$ et k =
${ S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 3 } }\o { S }_{ { D }_{ 1 } }{ S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 3 } }$

1) a) Déduire de C) que, lorsque D₁ // D₂ et D₁ ≠ D₂, D₁ // D₃ si, et seulement si, /12 = ${ Id }_{ p }$
b) Montrer que, lorsque A ∈ D₁ ∩ D₂ et D₁ ≠ D₂, A ∈ D₃ si, et seulement si, h² = ${ Id }_{ p }$
C) Déduire de a) et b) que « D₁, D₂, D₃, parallèles ou concourantes » équivaut a : h² = ${ Id }_{ p }$
2) a) Montrer que k², ${ S }_{ { D }_{ 1 } }\o k$ et $k\o { S }_{ { D }_{ 1 } }$ sont des translations.
b) Déduire de a) et C) la direction du vecteur de la translation k².
II) On considere un espace affine euclidien E de dimension 3.
A) Etant donné 2 droites D, D’, et les demi—tours ${ S }_{ { D } }$ et ${ S }_{ { D }^{ ' } }$ , montrer que :
1) Si D et D’ sont parallèles,
alors ${ S }_{ { { { D }^{ ' } } } }\o { S }_{ D }$ est une translation de vecteur ?
2) Si D et D’ sont concourantes, alors ${ S }_{ { { { D }^{ ' } } } }\o { S }_{ D }$ est une rotation d’angle ? autour de ?
3) Si D et D’ sont non coplanaires,
alors ${ S }_{ { { { D }^{ ' } } } }\o { S }_{ D }$ est un vissage de vecteur ? d’angle ? autour de ?
B) Déduire de A) que, étant donné 3 droites D₁, D₂, D₃, les demi—tours

vériﬁent ${ S }_{ { D }_{ 3 } }\o { S }_{ { D }_{ 2 } }\o { S }_{ { D }_{ 1 } }={ Id }_{ E }$ si, et seulement si, D₁, D₂, D₃, forment un trièdre trirectangle.

Aire(triangle) = (1/2) x L(base) >< L(hauteur). L —5 2) D’un point intérieur a un triangle équilatéral, on trace les trois segments rejoignant les sornmets, et les trois perpendiculaires aux cotés ; comparer la Somme des aires des trois triangles pairs, et la somrne des aires des trois triangles impairs.

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