Examen Géométrie | Aire – Cosinus

Thèmes :

Exercice 1: Aires / Triangle / Médiane
Exercice 2: Triangle équilatéral / Segments perpendiculaires / Cotés parallèles / Aires / Fonction constante
Exercice 3: Triangle isométrique
Exercice 4: Plan affine euclidien / Triangles équilatéraux
Exercice 5: Vecteurs linéairement indépendants / Parallélogramme
Exercice 6: Théorème des trois perpendiculaires / Point / Droite / Plan / Espace affine euclidien / Projeté orthogonal
Exercice 7: Produit scalaire / Tétraèdre régulier / Espace affine euclidien / Isobarycentre / Hauteur / Cosinus / Isométrie

Extrait :

I) A) Comparer les aires de 2 triangles obtenus en partageant un triangle par une médiane.

B) On considère (a, b, c) ∈ (ℝ⁺)³, un triangle ABC, et les 3 points D, E, F, définis par :
, et on pose: r = Aire(DEF) / Aire(ABC)
1) Déduire de A) la valeur de r lorsque a = b = c = 1. 2) Exprimer r en fonction de a, b, c.

II) D’un point M intérieur 51 un triangle équilatéral ABC,
on trace les trois segments rejoignant les sommets,
et les trois segments perpendiculaires aux cotés en D, E, F.
A) Apres avoir tracé les parallèles aux cotés passant par M,
comparer la Somme des aires des trois triangles pairs, _
et la somme des aires des trois triangles impairs
B) Montrer que la fonction : Intérieur(ABC) ∋ ℝ⁺* est constante.

III) Construire 4 [Resp : 16] triangles isométriques comportant, au total, 6 [Resp : 18] cotés.

IV) Dans le plan affine euclidien, on considere les triangles équilatéraux ABF, BCD, CAE,
extérieurs à un triangle ABC ; comparer les longueurs des trois segments AD, BE, CF.

V) On considère A, B, C, D, quatre points non alignés et deux à deux distincts ; vérifier que :

1) et sont linéairementindépendants.
2) Il existe (α,β) ∈ ℝ² tels que et
si, et seulement si, ABCD est un parallélogramme.

VI) Démontrer le théorème des trois perpendiculaires :

Etant donné une droite D d’un plan P du 3-espace affine euclidien E,
M un point de E, et N le projeté orthogonal de M sur P,
M et N ont même projeté orthogonal sur D.

VII)A)1) Exprimer le produit scalaire usuel en fonction de PM, PN,
2) Déduire de 1) que MN² =PM2 +PN² — 2 PM x PN x

B) Etant donné un tétraédre régulier clans le 3—espace affine euclidien :
1) Montrer que deux arêtes opposées sont orthogonales
et leur perpendiculaire commune a pour extrémités leurs milieux,
que l’isobarycentre des trois des sommets est pied de la hauteur issue du quatrième,
et que isobarycentre des quatre sommets est point d’intersection des quatre hauteurs.

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