Examen Equations Différentielles | Méthode d’Euler – Méthode des approximations successives

Thèmes :

Exercice 1: Système différentielle / Solution maximale / Méthode d’Euler
Exercice 2: Équation différentielle / Solution maximale / Méthode des approximations successives

Extrait :

Licence 3

Équations différentielles

Année 2008

1) On considère le système différentiel :

1. Montrer que par tout point (t₀, x₀, y₀) ∈ ℝ³ passe une solution maximale
et une seule. Montrer que cette solution est définie pour tout
t ∈ ℝ.

2. Calculer la solution qui passe par le point (0,1,1).

3. On cherche à approcher la solution par la méthode d’Euler. On fixe t > 0, n > 0 un entier, h = t/n. On applique la méthode d’Euler avec
le pas h. Calculer les coordonnées du point atteint après n pas.

2) On considère l’équation différentielle :
= -2y + t.

1. Montrer que par tout point (t₀,y₀) ∈ ℝ² passe une solution maximale
et une seule. Montrer que cette solution est définie pour tout t ∈ ℝ.

2. Calculer la solution qui passe par y₀ pour t = 0.

3. Appliquer la méthode des approximations successives à ce problème de
Cauchy en partant de la fonction constante y₀(t) = y₀ : on calculera
y₁(t) et y₂(t)

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