Partiel Calcul Intégral | Borne inférieure - Borne supérieure

Thèmes :

Exercice 1 : Convergence simple / Convergence uniforme / Suite de fonctions
Exercice 2 : Suite de fonctions / Convergence uniforme / Critère de Cauchy uniforme
Exercice 3 : Série / Convergence simple / Convergence normale / Convergence uniforme / Série de fonction / Classe C1 / Limite
Exercice 4 : Suite de fonctions / Convergence uniforme / Fonction positive / Borne inférieure / Borne supérieure / Fonction en escalier / Subdivision adaptée / Subdivision régulière

Extrait :

Partiel Calcul Intégral | Borne inférieure – Borne supérieure

LICENCE MATHS—INFO 3 Année 2007-2008

PARTIEL CALCUL INTEGRAL
Mercredi 19 mars 2008,
Durée 2 3 heures

Exercise 1. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite
de fonctions (fn) on, pour chaque entier est la. fonction déﬁnie sur [01]
par ${ f }_{ n }(x)=\frac { n{ e }^{ -x }+{ x }^{ 2 } }{ n+x }$
Exercice 2. Soient ${ f }_{ n }$ une suite de fonctions [0,1] —> R continues convergeant

uniformément sur ]0,1[. Montrer que $({ f }_{ n })$ converge uniformément sur [0,1]. On

pourra utiliser 1e critere de Cauchy uniforme.
_Exercice 3. Soit, pour chaque entier la fonction déﬁnie par
${ f }_{ n }=\frac { x{ e }^{ -nx } }{ lnn }$
On rappelle que la série $\sum { n\ge 2\frac { 1 }{ nlnn } }$ diverge.
1. Etudier la convergence simple, normale de $\sum { n\ge 2{ f }_{ n } }$ sur
2. Soit n un entier $\ge 2$ et soit N un entier $\ge n$ . Montrer que
En déduire que la série de fonctions $\sum { { f }_{ n } }$ converge uniformément sur
3. Soit f la somme de la série de fonctions $\sum { n\ge 2{ f }_{ n } }$ Montrer que f est de
classe ${ C }^{ 1 }$ sur ]0, +oo[.
4. Déterminer $\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x) }$
Exercice 4. 1. Soit (fn) une suite de fonctions de [a, b] dans R et soit g une
fonction de [a, b] dans ℝ. Montrer que si la suite de fonctions (fn) converge
uniformément sur [(1, b] vers une fonction f et si la. fonction g est bornée, alors
la suite de fonctions $({ f }_{ n }g)$ converge uniformément sur [a, b] vers g.
Soit f : [a,b] —> ${ ℝ }_{ + }$ une fonction continue, décroissante et positive et soit
g : [a, b] ——> une fonction continue. On pose

$G(x)=\int _{ 0 }^{ x }{ g(t) }$ dt pour $x\epsilon [a,b]$
Soit m la borne inférieure de G sur [(a, b] et soit M la borne supérieure de G
sur [(a, b]. ‘
(a) Soit h une fonction en escalier, décroissante et positive sur [(a, b]. Soit $\sigma =({ x }_{ i }{ ) }_{ i=0,...,n }$ une subdivision de [(a, b] adaptée à h et soit, pour i = 1, . . . ,n,
${ h }_{ i }$ la valeur constants de h sur $]{ x }_{ i-1 },{ x }_{ i }[$ . Montrer que
$\int _{ a }^{ b }{ h(t)g(t)dt=\sum _{ i=1 }^{ n-1 }{ ({ h }_{ i } } -{ h }_{ i+1 } } )G({ x }_{ i })+{ h }_{ n }G({ x }_{ n })$
En déduire que $mh({ a }^{ + })\le \int _{ a }^{ b }{ h(t)g(t)dt\le Mh({ a }^{ + } } )$ ou l’on a. posé $h({ a }^{ + })={ lim }_{ x\rightarrow { a }^{ + } }h(x)$
(b) Montrer qu’il existe une suite de fonctions ${ (f }_{ n }{ ) }_{ n\ge 1 }$ en escalier sur [a,b]
vériﬁant les propriétes suivantes :
(1) la suite $({ f }_{ n })$ converge uniformément vers f sur [a,b];
(2) pour tout la fonction ${ f }_{ n }$ est décroissante et positive sur [a, b] et ${ f }_{ n }(a)=f(a)$
(Indication. Utiliser une subdivision régulière de [a, b] de pas
(c) En déduire l’existence d’un point c ∈ [a,b] tel que
$\int _{ a }^{ b }{ f(t)g(t)dt=f(a)\int _{ a }^{ c }{ g(t)dt } }$