Partiel Calcul Intégral | Borne inférieure – Borne supérieure

Thèmes :

Exercice 1 : Convergence simple / Convergence uniforme / Suite de fonctions
Exercice 2 : Suite de fonctions / Convergence uniforme / Critère de Cauchy uniforme
Exercice 3 : Série / Convergence simple / Convergence normale / Convergence uniforme / Série de fonction / Classe C1 / Limite
Exercice 4 : Suite de fonctions / Convergence uniforme / Fonction positive / Borne inférieure / Borne supérieure / Fonction en escalier / Subdivision adaptée / Subdivision régulière

Extrait :

LICENCE MATHS—INFO 3 Année 2007-2008

PARTIEL CALCUL INTEGRAL
Mercredi 19 mars 2008,
Durée 2 3 heures

Exercise 1. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite
de fonctions (fn) on, pour chaque entier est la. fonction définie sur [01]
par
Exercice 2. Soient une suite de fonctions [0,1] —> R continues convergeant

uniformément sur ]0,1[. Montrer que converge uniformément sur [0,1]. On

pourra utiliser 1e critere de Cauchy uniforme.
_Exercice 3. Soit, pour chaque entier la fonction définie par

On rappelle que la série diverge.
1. Etudier la convergence simple, normale de sur
2. Soit n un entier et soit N un entier . Montrer que
En déduire que la série de fonctions converge uniformément sur
3. Soit f la somme de la série de fonctions Montrer que f est de
classe sur ]0, +oo[.
4. Déterminer
Exercice 4. 1. Soit (fn) une suite de fonctions de [a, b] dans R et soit g une
fonction de [a, b] dans ℝ. Montrer que si la suite de fonctions (fn) converge
uniformément sur [(1, b] vers une fonction f et si la. fonction g est bornée, alors
la suite de fonctions converge uniformément sur [a, b] vers g.
Soit f : [a,b] —> une fonction continue, décroissante et positive et soit
g : [a, b] ——> une fonction continue. On pose

dt pour
Soit m la borne inférieure de G sur [(a, b] et soit M la borne supérieure de G
sur [(a, b]. ‘
(a) Soit h une fonction en escalier, décroissante et positive sur [(a, b]. Soit une subdivision de [(a, b] adaptée à h et soit, pour i = 1, . . . ,n,
la valeur constants de h sur . Montrer que

En déduire que ou l’on a. posé
(b) Montrer qu’il existe une suite de fonctions en escalier sur [a,b]
vérifiant les propriétes suivantes :
(1) la suite converge uniformément vers f sur [a,b];
(2) pour tout la fonction est décroissante et positive sur [a, b] et
(Indication. Utiliser une subdivision régulière de [a, b] de pas
(c) En déduire l’existence d’un point c ∈ [a,b] tel que

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