Partiel Calcul intégral | Comparaison série intégrale - Continuité

Thèmes :

Exercice 1 : Suite de fonctions / Convergence uniforme / Convergence simple
Exercice 2 : Série de fonctions / Convergence simple / Convergence normale / Reste / Convergence uniforme / Somme / Comparaison série intégrale / Continuité / Somme / Dérivabilité / Limite

Extrait :

Partiel Calcul intégral | Comparaison série intégrale – Continuité

Exercice 1. Soit ${ f }_{ n }$ une suite de fonctions de convergeant uniformément sur ℝ vers
une fonction continue.

1. Montrer que si ${ u }_{ n }$ est une suite d’éléments de ℝ convergeant vers un élément I ∈ ℝ alors
la suite $({ f }_{ n }({ u }_{ n }))$ converge vers ${ f }(1)$

2. En déduire que ${ f }_{ n }o{ f }_{ n }$ converge simplement ℝ vers ${ f }o{ f }$

Exercice 2. Soit ∝ un réel strictement positif. Pour tout entier on considère l’application ${ u }_{ n }$ de [0, +∞[ dans ℝ déﬁnie par
1. Montrer que la. série de fonctions ${ \sum { n\ge 1\quad { u }_{ n } } }$ converge simplement sur [0, +∞[.
(b,) Montrer que la série de fonctions ${ \sum { n\ge 1\quad { u }_{ n } } }$ converge normalement sur [0, +∞[ si et seulement si ∝ > 1/2.
(C) On suppose dans cette question que ∝ 1/2. Pour tout , on pose
${ R }_{ n }=\sum _{ k=n+1 }^{ +\infty }{ { u }_{ k } }$
1. Montrer que, pour tout x ∈ [0, +∞[ et tout
${ R }_{ n }(x)\ge \sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { x }{ \sqrt { 2n } (1+k{ x }^{ 2 }) } }$
ii En déduire que la série de fonctions ${ \sum { n\ge 1\quad { u }_{ n } } }$ ${ u }_{ n }$ n’est pas uniformément convergente sur [0,a] où a. est un nombre réel stricte’ment positif.
2. On note S l’application de [0, +∞[ dans ℝ déﬁnie par $S=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { u }_{ n } }$
(a) Montrer que, pour tout ∝ > 0, S est continue sur ]0, +∞[.
(b) Montrer que, si ∝ > 1/2, alors S est continue sur [0, +∞[.
(C) On suppose dans cette question que $\propto \le 1/2$ . Soit un réel strictement positif.
i. En utilisant une comparaison série-intégrale, montrer que, pour tout entier $n\ge 1$ On a $\int _{ 1 }^{ n+1 }{ \frac { x }{ { t }^{ \propto }(1+t{ x }^{ 2 }) } } dt\le \sum _{ k=1 }^{ n }{ { u }_{ k } } (x)$
ii Calculer
iii. En déduire que S n’est pas continue en 0.
3. On suppose que ∝ = 1.
(a) Montrer que S est de classe ${ C }^{ 1 }$ sur
(b) Déterminer ${ lim }_{ x\rightarrow +\infty }S(x)$
(C) Montrer que ${ lim }_{ x\rightarrow 0+ }\frac { S(x) }{ x } =+\infty$ (On pourra commencer par donner la limite de
${ T }_{ N }(x)=\frac { 1 }{ x } \sum _{ n=1 }^{ N }{ { u }_{ n } } (x)$ en ${ 0 }^{ + }$ ). La fonction S est-elle dérivable en 0?