Examen Calcul Intégral | Continuité – Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Suite de fonctions / Convergence uniforme
Exercice 2: Classe C1 / Dérivabilité / Continuité / Intégrale / Inégalité
Exercice 3: Convergence simple / Convergence normale / Convergence uniforme / Somme / Continuité / Comparaison série-intégrale / Limite / Dérivabilité

Extrait :

Devoir Calcul intégral

Exercice 1. Montrer qu‘une suite de fonctions converge uniformément sur [a, b] si et seulement la suite de fonctions converge uniformément sur ]a,b[ et les suites et
convergent.

Exercice 2. Soit f : [0, +∞[—>ℝ une fonction de classe C¹ vérifiant f(0) = 0 et, pour tout
x ≥ 0, 0 ≤ f′(x) ≤ b Soit F la fonction définie sur ℝ₊ par

x ≥ 0

1. Montrer que F est dérivable et que sa dérivée F’ est continue.
2. Monter qu’il existe une fonction dérivable g telle que, pour tout x ≥ 0, F'(x) = f(x)g(x)
3. Calculer g’(x) en fonction de f(x) et f'(x).
4. Montrer que, pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0.
5. En déduire que dt
Exercice 3. Soit α un réel strictement positif. Pour tout entier n ∈ ℕ*, on considère l’application un de [0,+∞[ dans ℝ définie par

1. (a) Montrer que la série de fonctions converge simplement sur [0, +∞[.

(b) Montrer que la série de fonctions converge normalement sur [0, +∞[si et seulement si α > 1/2.

(c) On suppose dans cette question que α ≤ 1/2. Pour tout entier n ≥ 1, on pose
i. Montrer que, pour tout x ∈ [0, +∞[et tout n ∈ ℕ*, on a
ii. En déduire que la série de fonctions n’est pas uniformément convergente
sur [0, a] on a et un nombre réel strictement positif.
2. On note S l’application de [0,+∞[ dans ℝ définie par
(a) Montrer que, pour tout α > 0, S est continue sur ]0,+∞[.
(b) Montrai que, si α > 1/2, alors S est continue sur [0, +∞[.
(c) On suppose dans cette question que α ≤ 1/2. Soit x un réel strictement positif.
i. En utilisant une comparaison série-intégrale, montrer que, pour tout entier n ≥ 1,
on a
“ii. Calculer
iii. En déduire que S n’est pas continue en 0.
3. On suppose que α = 1.
(a) Montrer que S est de classe C¹ sur
(b) Déterminer
(C) Montrer que . (On pourra commencer par donner la limite de
en 0⁺). La fonction S est-elle dérivable en 0′?

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