Examen Calcul Intégral | Continuité - Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Suite de fonctions / Convergence uniforme
Exercice 2: Classe C1 / Dérivabilité / Continuité / Intégrale / Inégalité
Exercice 3: Convergence simple / Convergence normale / Convergence uniforme / Somme / Continuité / Comparaison série-intégrale / Limite / Dérivabilité

Extrait :

Examen Calcul Intégral | Continuité – Convergence normale

Devoir Calcul intégral

Exercice 1. Montrer qu‘une suite de fonctions $({ f }_{ n })$ converge uniformément sur [a, b] si et seulement la suite de fonctions $({ f }_{ a })$ converge uniformément sur ]a,b[ et les suites ${ (f }_{ n }(a))$ et ${ (f }_{ n }(b))$
convergent.

Exercice 2. Soit f : [0, +∞[—>ℝ une fonction de classe C¹ vérifiant f(0) = 0 et, pour tout
x ≥ 0, 0 ≤ f′(x) ≤ b Soit F la fonction déﬁnie sur ℝ₊ par

$F(x)={ \left( \int _{ 0 }^{ x }{ f(t)dt } \right) }^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ x }{ f(t{ ) }^{ 3 } } dt,$ x ≥ 0

1. Montrer que F est dérivable et que sa dérivée F’ est continue.
2. Monter qu’il existe une fonction dérivable g telle que, pour tout x ≥ 0, F'(x) = f(x)g(x)
3. Calculer g’(x) en fonction de f(x) et f'(x).
4. Montrer que, pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0.
5. En déduire que ${ \left( \int _{ 0 }^{ x }{ f(t)dt } \right) }^{ 2 }\ge \int _{ 0 }^{ x }{ f(t{ ) }^{ 3 } }$ dt
Exercice 3. Soit α un réel strictement positif. Pour tout entier n ∈ ℕ*, on considère l’application un de [0,+∞[ dans ℝ déﬁnie par ${ u }_{ n }(x)=\frac { x }{ { n }^{ \alpha }\left( 1+n{ x }^{ 2 } \right) }$

1. (a) Montrer que la série de fonctions $\sum _{ n\ge 1 }{ { u }_{ n } }$ converge simplement sur [0, +∞[.

(b) Montrer que la série de fonctions $\sum _{ n\ge 1 }{ { u }_{ n } }$ converge normalement sur [0, +∞[si et seulement si α > 1/2.

(c) On suppose dans cette question que α ≤ 1/2. Pour tout entier n ≥ 1, on pose ${ R }_{ n }=\sum _{ k=n+1 }^{ +\infty }{ { u }_{ k } }$
i. Montrer que, pour tout x ∈ [0, +∞[et tout n ∈ ℕ*, on a ${ R }_{ n }(x)\ge \sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { x }{ \sqrt { 2n } \left( 1+k{ x }^{ 2 } \right) } }$
ii. En déduire que la série de fonctions $\sum _{ n\ge 1 }{ { u }_{ n } }$ n’est pas uniformément convergente
sur [0, a] on a et un nombre réel strictement positif.
2. On note S l’application de [0,+∞[ dans ℝ déﬁnie par $S=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { u }_{ n } }$
(a) Montrer que, pour tout α > 0, S est continue sur ]0,+∞[.
(b) Montrai que, si α > 1/2, alors S est continue sur [0, +∞[.
(c) On suppose dans cette question que α ≤ 1/2. Soit x un réel strictement positif.
i. En utilisant une comparaison série-intégrale, montrer que, pour tout entier n ≥ 1,
on a $\int _{ 1 }^{ n+1 }{ \frac { x }{ { t }^{ \alpha }\left( 1+{ tx }^{ 2 } \right) } } dt\le \sum _{ k=1 }^{ n }{ { u }_{ k } } (x)$
“ii. Calculer $\int { \frac { x }{ { t }^{ { 1 }/{ 2 } }\left( 1+{ tx }^{ 2 } \right) } }$
iii. En déduire que S n’est pas continue en 0.
3. On suppose que α = 1.
(a) Montrer que S est de classe C¹ sur
(b) Déterminer $\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ S(x) }$
(C) Montrer que $\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { S(x) }{ x } } =+\infty$ . (On pourra commencer par donner la limite de
${ T }_{ N }(x)=\frac { 1 }{ x } \sum _{ n=1 }^{ N }{ { u }_{ n }(x) }$ en 0⁺). La fonction S est-elle dérivable en 0′?