Examen Calcul Intégral | Convergence - Intégrale impropre

Thèmes :

Exercice 1: Intégrable / Intégrale impropre / Convergence / Théorème de convergence dominée / Classe C1
Exercice 2: Intégrale / Série / Inégalité / Equivalence / Voisinage / Classe C1 / Variations

Extrait :

Examen Calcul Intégral | Convergence – Intégrale impropre

Exercice 1. On rappelle que la fonction sh est déﬁnie sur ℝ par sh $t=\frac { { e }^{ x }-{ e }^{ -t } }{ 2 }$
Soit f :]1, +∞[X]0, +∞[—> ℝ la fonction déﬁnie par
$f(x,t)=\frac { { e }^{ xt }-sht }{ t }$
1. Montrer que, pour tout x > 1, la fonction t $\mapsto$ f(x,t) est intégrable sux
]0,+∞[.
2. Soit F :]1, +∞[—> ℝ la fonction déﬁnie par
F(x) = $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ f(x,t) }$ dt.
Soit $({ x }_{ n })$ une suite de ]1, +∞[ qui tend vers +∞.
(a) Est—ce que l’intégrale impropre $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { e }^{ -t } } \frac { sht }{ t }$ dt converge?
(b) Justiﬁer l’existence d’un entier ℕ tel que, pour tout n ≥ ℕ, on ait ${ x }_{ n }\ge$ 2
(c) Montrer, à l’aide du théorème de convergence dominée, que
$\lim _{ n\rightarrow +\infty }{ F({ x }_{ n } } )$ = 0
(d) En déduire la limite de F en +∞.
3. Montrer que F est de classe C¹ et calculer F’. En déduire une expression plus
simple de F.

Exercice 2. 1. Montrer que la fonction $F:x\mapsto \int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { sint }{ { e }^{ xt }-1 } }$ dt est déﬁnie sur 0 ]0,+∞[.
2. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ₊, |sint| ≤ t.
3. Calculer $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { e }^{ -nxt } } sint$ dt
4. Montrer que, pour tout x > 0, on a. $F'(x)=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ 1+{ n }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } }$ . Indication. On pensera à écrire, pour x > O et t > 0, $\frac { 1 }{ { e }^{ xt }-1 }$ comme la somme d‘une série.
. Montrer que, pour tout x > 0, on a.
$\int _{ 1 }^{ +\infty }{ \frac { dt }{ 1+{ t }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } } \le F(x)\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { dt }{ 1+{ t }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } }$
6. Calculer, pour x > 0, $\int { \frac { dt }{ 1+{ t }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } }$
7. En déduire que F(x) ~ $\frac { \pi }{ 2x }$ au voisinage de 0⁺.
8. Montrer que F est de classe C¹ et donner une expression de F′(x) comme la
somme d’une série.
9.Déterminer la limite de F lorsque x tend vers ∞.
10.Etudier les variations de F.