Partiel Calcul Formel – Maple | Aire – Maple

Thèmes :

Exercice 1: Parabole / Famille paramétrique
Exercice 2: Tangente double / Polynôme quadratique / Courbe / Aire

Extrait :

0. Modalités

1.Vous disposez de une heure,
2.les documents personnels sont autorisés,
3.vous rendrez une feuille de calcul Maple imprimée avec vos noms et prénoms
en téte,

1. Famille de courbes
1.1. Trouver la FAMILLE paramétrique (paramètre t) de paraboles y = a
x ^2 + bx + c telle que : (env. 6 pts)
> toutes les paraboles passent par le point (0, 1)
> toutes les paraboles soient tangentes à la première bissectrice

1.2. Tracer sur un même graphique, la première bissectrice (en noir) et
trois paraboles de la famille pour t = -1 (en rouge), t = 1 (en bleu)
et t = 2 (en vert) (env. 2 pts)

2. Tangente double

Toute tangente en un point à la courbe représentative d’un polynôme quadratique
interceptera la courbe 0, 1 ou 2 fois. Lorsque la tangente issue du point P intercepte une unique fois la courbe (disons au point Q) alors le point Q est également un point de tangence
(voir dessin ci-dessous). C’est une tangente dite double.
La courbe y(x) = ax⁴ – 2ak²x² + dx + e possède cette propriété de double tangents.

2.1. Vérifiez que la tangente à la courbe issue du point P d’abscisse k
est également tangente à la courbe au point Q d’abscisse —k (env.
4 pts)
La tangents issue du point T d’abscisse 0 intercepte la courbe en deux points (R et S).
Notez que la droite RS est parallèle à la droite PQ

2.2. montnez que I’aire comprise entre RS et la courbe est égale ti
racine(2) fois I’aire comprise entre PQ et la courbe (env. 4 pts)

2.3. montrez que l’aire comprise entre RT et la courbe est égale à l’aire
comprise entre TS et la courbe (env. 4 pts)

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