Examen Calcul Formel | Dérivabilité - Hessien

Thèmes :

Exercice 1: Calcul du Hessien d’une expression / Polynôme / Variable / Dérivabilité
Exercice 2: Carrés magiques / Matrice carrée

Extrait :

Examen Calcul Formel | Dérivabilité – Hessien

0. Modalités
1.Vous disposez de deux heures,
2.les documents personnels sont autorisés,
3.vous rendrez une feuille de calcul Maple imprirnée avec vos noms et prénoms
en téte.

1. Procédure de calcul du Hessien d’une expression

Soient :
> P polynôme multi-variable (par exemple P=x²y + 3xy²)
> L la liste des variables du polynôme P (par exemple L=[x, y])
Alors : le Hessien de P selon la liste de variable L est une matrice H de dimension n sur n (n
est le nombre de variables du polynôme) et dans laquelle le coefficient H[i,j] est la dérivée du polynôme P par rapport à la variable de la liste L puis par rapport à la ## { j }^{ iéme }$ variable de la
liste L.
Pour notre exemple P=x²y + 3xy² et L =[x,y], le Hessien de P est la matrice suivante :
[2y 2X + 6y]
[2x + 6y 6x ]

1.1. Ecrire une procédure Maple du calcul du Hessien d’une
expression : (env. 4 pts)

1.2. Montrer en utilisant la bonne procédure Maple que votre
procédure est correcte (env. 2 pts)

2. Carrés « magiques »

Un carré magique d’ordre n est une matrice carrée de dimension n telle que la somme de chaque ligne, la Somme de chaque colonne et les sommes des deux diagonales soient identiques.
Exemple : $\begin{matrix} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \end{matrix}$

2. 1. écrire une procédure Maple rendant true ou false selon que la
matrice donnée est un carré magique ou non (env. 5 pts)

2.2. écrire une procédure ou fonction permettant de construire un
carré magique d’ordre impair (env. 7 pts)
Algorithme :
1.On initialise la matrice à zéro,
2.On met 1 au milieu de la dernière ligne,
3.On suit, à partir de cette position, la première diagonale (une case en
dessous et une case à droite) en mettant successivement 2, 3, 4,…
4.En suivant la premiere diagonale si :
> vous sortez de la matrice par le bas alors passage en haut
> vous sortez de la matrice par la droite alors passage à gauche
5.Dés que le déplacement sur la diagonale vous fait rencontrer un élément
déjà entré (non nul), on remonte d’une ligne par rapport à la position courante
(avant tentative de déplacement), on pose son nombre et on continue;
Exemple : Voici la construction pas à pas du carré magique d’ordre 3
$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 6 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \end{matrix}$