Partiel Calcul Différentiel | Norme - Boule

Thèmes :

Questions de cours : Norme / Dérivée / Dérivée suivant un vecteur / Dérivées partielles / Différentielle / Continuité d’une application linéaire / Norme d’une application linéaire continue
Exercice 1 : Espace vectoriel normé / Boule / Fonction
Exercice 2 : Limites / Continuité / Dérivabilité / Différentiabilité / Dérivée suivant un vecteur
Exercice 3 : Espace vectoriel normé / Normes usuelles / Continuité

Extrait :

Partiel Calcul Différentiel | Norme – Boule

I) On considére un espace vectoriel normé E,(a,b) E ${ E }^{ 2 }$ et (r, s) ∈ et on pose $d=\parallel b-a\parallel$
1) On suppose $d\neq 0$ et on pose $\propto { r }/{ d },\beta { s }/{ d }$
a) Vériﬁer que : i) c est injective ;
ii) $\parallel c(t)-a\parallel \ge r$ si et seulement si
iii) $\parallel c(t)-b\parallel \ge r$ si et seulement si
2) Déduire de 1) que, si B(a, r) = B(b, s), alors a = b et r = 5.

II) 1) a)Vériﬁer que $|2xy|\le { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 }$ pour tout
b) Calculer $\lim _{ x\rightarrow 0 }{ y(x) }$

2) On considère les application f et g de vers ℝ déﬁnies par :
$f:(x,y)\mapsto \begin{cases} 0\quad si(x,y)=(0,0) \\ \frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } sn(\frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } \end{cases}$ sinon, $g:(x,y)\mapsto \begin{cases} 0\quad si\quad x\quad =\quad 0 \\ \frac { { y }{ e }^{ { -1 }/{ { x }^{ 2 } } } }{ { y }^{ 2 }+{ e }^{ { -2 }/{ { x }^{ 2 } } } } \end{cases}$
Etudier en (0, 0), et seulement en (0, 0), :
a) la continuité de 1″, Pexistence de sa dérivée suivant 1e vecteur (1, 1), et sa différentiabilité ;
b) la continuité de g, l’existence de sa dérivée suivant chaque vecteur v t 0, et sa différentiabilité.

III) A) On considére E et F des espaces vectoriels normés, et f : $f:E\rightarrow F$ linéaire. Montrer que :
si $\parallel f(x)\parallel \le k\parallel x\parallel$ pour tout x ∈ E, et il existe $a\epsilon { E }^{ * }$ tel que $\parallel f(a)\parallel =k\parallel a\parallel$ a alors f est continue $\parallel f\parallel =k$

B) On munit de l’une des trois normes usuelles : somme $\parallel \quad { \parallel }_{ 1 }$ euclidienne $\parallel \quad { \parallel }_{ 2 }$ , maximum

1)Vériﬁer que,pour tout $x\epsilon E,\parallel x{ \parallel }_{ \infty }\le \parallel x{ \parallel }_{ 2 }\le \parallel x{ \parallel }_{ 1 }\le \sqrt { n } \parallel x{ \parallel }_{ 2 }\le \parallel x{ \parallel }_{ \infty }$
2) Déduire de A) la continuité de l’application linéaire addition :
et la valeur de sa nonne pour chacune des trois normes sur E.

Aperçu :

Afficher ce document sur Scribd

Téléchargement :

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Thèmes :

Extrait :

Partiel Calcul Différentiel | Norme – Boule

Aperçu :

Téléchargement :

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

Partager :

Sur le même thème

Laisser un commentaire X