Examen Calcul Différentiel | Continuité - Dérivabilité

Thèmes :

Exercice 1: Dérivées partielles / Continuité / Dérivée suivant un vecteur / Différentiable / Limite
Exercice 2: Continuité / Dérivées partielles / Différentiabilité
Exercice 3: Application dérivable / Fonction croissante
Exercice 4: Espace vectoriel normé / Application continue / Dérivée à droite / Théorème des accroissements finis / Dérivabilité
Exercice 5: Différentiabilité / Espace vectoriel normé
Exercice 6: Application linéaire continue
Exercice 7: Application bilinéaire continue

Extrait :

Examen Calcul Différentiel | Continuité – Dérivabilité

I) Soit(a,b,c) ∈ (ℕ*),r ∈ [0,1[ et f : ℝ
si (x. y) ≠ (0.0) si(x,y)=(0,0)

I) Vériﬁer que: $|{ x }^{ a }{ y }^{ b }|\le ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }{ ) }^{ (a+b)/2 }$ et ${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2rxy\ge (1-r)({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })$

2) Calculer les fonctions dérivées partielles ${ \vartheta }_{ 1 }f=\frac { \vartheta f }{ \vartheta x }$ et ${ \vartheta }_{ 2 }f=\frac { \vartheta f }{ \vartheta y }$

3) Vériﬁer que a) f est C¹ sur (ℝ²)*; b) ∂₁f(0, 0) = 0 = ∂₂f(0, 0).

4) Déterminer, dans chacun des sept cas ci-dessous, pour quelles Valeurs de (a,b,c)

a) $t\mapsto f(t,t)$ est continue; b) $\lim _{ t\rightarrow 0 }{ \frac { f(t,t) }{ \sqrt { { t }^{ 2 }+{ t }^{ 2 } } } }$ ; c) f est dérivable suivant tout vecteur;

d)f est continue; e) est différentiable; f) est C¹ ; g) $\lim _{ t\rightarrow 0 }{ { \vartheta }_{ 1 } } f(t,t)=0=\lim _{ t\rightarrow 0 }{ { \vartheta }_{ 2 } } f(t,t)$

II) Etudier, en tout point (x, y) de ℝ², la continuité, l’existence et la continuité des dérivées
partielles, et la différentiabilité de l’application f: ℝ²

III) Etant donné un intervalle I de ℝ et f : I —> ℝ une application dérivable, montrer que:
f est strictement croissante si, et seulement si : a) d’une part, pour tout t ∈ I, f ’(t) ≥ 0, et:
b) d’autre part, l’ensemble D des t ∈ I tels que f’(t) > 0 est dense dans 1; c’est à dire:
pour tout point x de I et pour tout réel strictement positif a, ]x – a, x + a[ ⋂ D est non vide.

IV) On considère un espace vectoriel normé E, un intervalle ouvert I de ℝ, $f:I\rightarrow E$
une application continue admettant, en tout point x de I, une dérivée à droite f ’(x⁺), et a ∈ I :
1) L’application g : $I\quad \ni \quad x\mapsto f(x)-(x-a){ f }^{ ' }({ a }^{ + })$ est-elle continue ? dérivable à droite?
2) Déduire de 1) et du théorème des accroissements ﬁnis applique à la fonction g que,
si l’application $x\mapsto { f }^{ ' }({ a }^{ + })$ est continue en a, alors l’application f est dérivable en a.

V) 1) Montrer que l’application R x ℝ* ∋ $(x,y)\mapsto x/y$ ∈ ℝ est différentiable, et calculer en tout (x, y) ∈ R x ℝ*, sa différentielle 2) On considère un espace vectoriel normé E,
D ⊂ E, a ∈ D,f: D —> ℝ, et g : D —> ℝ* ; montrer que, si f et g sont différentiables en a,
alors $h:u\mapsto f(u)/g(u)$ est continue en a,alors l’application f est dérivable en a

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