Examen Calcul Différentiel | Accroissements finis – Bijection

Thèmes :

Exercice 1: Espace vectoriel normé / Fonction différentiable / Extremum local / Voisinage
Exercice 2: Forme bilinéaire continue / Fonction différentiable
Exercice 3: Produit scalaire euclidien / Application bilinéaire / Matrice jacobienne / Accroissement fini / Fonction injective / Fonction surjective / Bijection

Extrait :

I) On considère un espace vectoriel normé E et f : E —> ℝ différentiable en a ∈ E.

1) Vérifier que, pour tout u ∈ E, : ℝ ∋ ∈ ℝ est dérivable en 0 et comparer ’(0) et

2) Déduire de 1) que, si a est un extremum local de f, c’est à dire: il existe un voisinage V de a tel que,’
“pour tout x ∈ V, f(x) ≤ f(a)” ou “pour tout x ∈ V, f(x) ≥ f(a)”, alors

II) Etant donnée des espaces vectoriels normés U, E₁, E₂ et F, q : E₁ x E₂ —> F bilinéaire continue,
et r₁ : U —> E₁ et r₂ : U —> E₂ différentiables en a ∈ U, montrer, par composition, que
est différentiable en a, et comparer et

III) On note le produit scalaire euclidien sur P = R², et la normes associée :
< (x₁,x₂)(y₁y₂) > = x₁y₁+x₂y₂
On considère M ∈ [0, 1[,f: ℝ —> ℝ de classe C¹ vérifiant, pour tout u ∈ ℝ, |f’(t) | ≤ M, et F: P —> P définie par :
F(z₁,z₂)=(z₁+f(z₂),f(z₁)+z₂). ‘

0) Vérifier que l’app1icatio’n bilinéaire < , > est continue.

1) a) Calculer la matrice jacobienne de F;
b) Déduire de a) que F est de classe C¹ et, pour tout a ∈ P, est inversible. ’

2) Montrer que, pour tout (z, c) ∈ P², (1 —M) || c ||² ≤ < $latex { D }_{ z }F(c),c>$.

3)Etant donné(a, b) ∈ P²,montrer que
sont dérivables, et comparer $latex <{ D }_{ tb+(1-t)a }F(b-a),(b-a)>$

4) Déduire de 3) et 2), et de l’égalité des accroissements finis :
que, pour tout (a, b) ∈ P², (1 — M) || b – a ||² ≤

5) a) Déduire de 4) et de l’inégalité : 0 ≤ , appliquée à :

z =F(y)—F(x) — (1 —M) (y-x). que, pour tout (x,y) ∈ P²,(1—M)||y—x|| ≤ ||F(y)—F(x)||;

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