Thèmes :
Exercice 1 : Equation Diophantienne
Exercice 2 : Equation / Modulo
Exercice 3 : Théorème de Wilson
Exercice 4 : Calcul Modulaire / Fonction indicatrice d’Euler
Exercice 5 : Suite de Fibonacci / Algorithme d’Euclide / PGCD
Exercice 6 : Groupe symétrique / Indice d’un sous groupe / Sous groupe normal
Problème : Centre / Elément neutre / Indice d’un sous groupe / Conjugués / Relation d’équivalence
Extrait :
Partiel Anneaux et Corps | Algorithme d’Euclide – Calcul Modulaire
I Equation Diophantierme
On considère l’équation : ax + by = c où (a,b,c) ∈ ℤ³, a et b non nuls
1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation admette au moins une solution.
2. Déterminer, dans ce cas, l’ensemble de toutes les solutions.
3. Application 1 : en multipliant mon jour de naissance par 12 et mon mois de naissance par 31,
j’obtiens 442.
Quelle est ma date de naissance ? (On ne demande pas l’année.)
4. Application 2 : quels sont les points 2′: coordonnées entières de la droite d‘équation 5x+ 3y = 2?
II Equations dans Z/20Z
On identifiera les entiers relatis avec leur classe modulo 20.
a Déterminer les éléments inversibles de Z/2OZ et préciser leur inverses.
b. Résoudre dans Z/2OZ >< Z/2OZ le système
4x + 7y = 10
5x + 14y = 18
c. Résoudre dans Z/2oZ l’équation 7x²+ 2x + 11 = 0.
III)Théoréme de Wilson
a. Montrer qu’un entier p strictement supérieur a 1 est premier si et seulement si
(p -1)! = -1 mod p
b. Montrer qu’un entier impair p = 2m + l strictement supérieure a 1 est premier si et seulement si
(-1)m(m!)² = -1 mod p
En déduire une racine carrée de -1 dans Z/pZ dans le cas où p est un entier premier congru à 1 modulo 4.
IV Calculs modulaires
a. Soit a et n deux entiers. Montrer que si a est premier avec n où φ désigne l'indicatrice d’Euler.
b. Soit n un nombre premier. Montrer que pour tout entier a.
c. Soit n un nombre premier.
Montrer que n divise pour tout entier k tel que 1≤k≤n-1
Réciproquement, montrer que si n divise pour tout k ∈ {l, . . . , n} alors n est premier.
d. Soit a et n deux entiers tels que a ≠ 0, 11 > 2, pour tout
entier k diviseur strict de n-1 (i. e. distinct de 1 et de n—1). Montrer que n est premier.
V Suite de Fibonacci
On définit la suite (un)n ∈ ℕ de Fibonacci par
uo = 1, u1 = 2,
telle que pour tout n
a. Soit n ∈ ℕ. Montrer que un et 
b. Soit n ∈ ℕ. En combien d’itérations s’effectue l’algorithme d’Euclide pour trouver le pgcd de-
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