Examen Anneaux et Corps | Anneau euclidien – Corps commutatif

Thèmes :

Exercice 1: Racine rationnelle / Polynôme unitaire
Exercice 2: Corps commutatif / Racine complexe / Polynôme minimal / Sous anneau / Degré de l’extension / Sous corps / Sous anneau / Matrice / Algébrique / Décomposition
Exercice 3: Anneau / Corps / Polynôme minimal / Automorphisme / Élément inversible / Anneau euclidien

Extrait :

I – Racine d’un polynôme
Montrer que si P(X) est un polynôme unitaire de Z[X], toute racine rationnelle de P(X) est un entier diviseur de P(0)
II – Des polynômes
Soit k un corps commutatif. On désigne par P(X) le polynôme P(X)=X^3+4X-6
1) On suppose dans cette question que k est le corps des rationnels Q.
a) Montrer que P(X) est irréductible dans Z[X] et dans Q[X]
b) Montrer que P(X) a une seule racine réelle lambda_0 avec 1 c) Quel est le polynôme minimal de lambda_0 sur Q ?
On note Q[lambda_0] le sous anneau de C engendré par Q et lambda_0. Montrer que Q[lambda_0] est un corps. d) Quel est le degré de l’extension Q[lambda_0] de Q ?
e) Calculer l’expression de lambda_0 ^(-1) dans la base (1, lambda_0, lambda_0 ^2) de Q[lambda_0] sur Q.
f) Quels sont les sous corps de Q[lambda_0] ?
2) On désigne par M_3(Q) l’anneau des matrices carrées à 3 lignes et 3 colonnes à coefficients rationnels, par I la matrice identité, et par M la matrice suivante.

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