Examen Anneaux et Corps | Anneau euclidien – Critère d’Eisenstein

Thèmes :

Exercice 1: Corps / Polynôme / Polynôme irréductible / Degré des extensions / Corps de décomposition / Sous corps
Exercice 2: Nombres complexes / Sous anneau / Groupe des éléments inversibles / Isomorphisme / Espace vectoriel / Anneau euclidien / Élément irréductible / Diviseur irréductible / Équation
Exercice 3: Critère d’Eisenstein / Anneau factoriel / Corps / Polynôme irréductible

Extrait :

Soit Q le corps des nombres rationnels.

On considère le polynôme P(X) = X³ + 3X +1 de ℚ[X].

1) Montrer que toute racine de P qui appartient à ℚ est un entier.
2) En déduire que P(X) est irréductible dans ℚ[X].

3) Montrer que P a au moins une racine réelle α et calculer le degré des extensions

suivantes:[ℚ(α)],

4) Soit K le corps de décomposition de P(X) sur ℚ. ( c’est à dire le plus petit sous-corps de ℂ contenant toutes les racines de P(X))
A-t-on [K : ℚ] = 3 ? (Justifier votre réponse en montrant que les autres racines de P ne sont pas réelles.)

II

Pour tout nombre complexe z, on pose ℕ(z) =, où 2 désigne le conjugué de z dans le corps des
nombres complexes ℂ.

On considère le sous-ensemble A = ℤ[ ] = {a + ,(a,b) ∈ ℤ²} de ℂ.

l) Montrer que A est un sous-anneau de ℂ.
Déterminer le groupe U(A) des éléments inversibles de A.
A quel groupe additif, U(A) est>,il isomorphe ?

2) Montrer que ℚ[ ] = { u+ v , (u,v) ∈ ℚ²} est un sous-corps de C: et un Q-espace vectoriel de
base (1, ) ‘

3) Montrer que, pour tout élément x de ℚ[ ], il existe un élément z de A tel que ℕ(x-z) En déduire que A est un anneau euclidien.

4) Montrer que l’élément est irréductible dans A.

5) Soit x et y deux entiers relatifs tels que : X² + 2 = y³.
i) Montrer que x + et x – sont premiers entre eux dans A.( Sinon un diviseur irréductible commun est de la forme , en déduire que x est pair et conclure à une
contradiction)

ii) Montrer que x + est le cube d’un élément de A.

6) Résoudre l’équation : x² + 2 = y³ dans ℤ².
Exercice 3

1. Énoncer le critère d‘Eisenstein clans A[X], où A est factoriel.

2. Soit K un corps. k[X,Y] est factoriel (on admet que si A est factoriel, alors
A[X] l’est également).
3. Etudier l’irréductibilité des polynômes suivants dans K[X,Y] :
Y-X³,Y² + X² + 1,Y² + X² – 1,X² – Y² – 1,Y² – X³,Y³ – X² – Y,XY³ – Y² – X²Y + X

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