Examen Anneaux et Corps | Algébrique – Anneau

Thèmes :

Exercice 1: Résolution d’équation / Anneaux
Exercice 2: Décomposition en produit d’irréductible / PGCD
Exercice 3: Sous Anneau / Algébrique / Sous corps / Inversible / Idéal / Idéal premier / Idéal principal / Stathme
Exercice 4: Polynôme minimal / Degré de l’extension / Extensions intermédiaires / Racines primitive de l’unité

Extrait :

Exercice 1

Résoudre l’équation X³=2 dans chacun des anneaux suivants

ℤ/7ℤ, ℤ/5ℤ, ℤ/35ℤ, ℤ/25ℤ.

Exercice 2

Justifier l’existence d’une décomposition en produit d’irréductibles dans ℤ[i]
Déterminer la décomposition en produit d’éléments irréductibles de l’élément 7 + 3i
En déduire celle de 7-3i et le PGCD de 7+3i et 7-3i

Exercice 3

On considère l’ensemble A de C défini par
A = {a+ , (a,b) ∈ ℤ²}

Pour tout élément x= a + b de A, on note N(x)=a²+5b²

1. i) Montrer que A est un sous anneau de ℂ contenant ℤ
ii) Montrer que tout élément de A est algébrique sur ℚ de degré inférieur ou égal à 2

iii) Soit x = a + b un élément non nul de A, déterminer le plus petit sous corps de ℂ qui contient x.

2. i) Montrer que N(xy)=N(x)N(y)
En déduire qu’un élément u de A est inversible dans A si et seulement si N(u)=l
ii) Déterminer le groupe des inversibles de A.

3. On considère l’idéal=3A

i) Les éléments et sont-ils dans I ?
ii) L’idéal I est-il premier ?

4. On considère le sous ensemble J de A tel que
J = {a + b, 3/a + b}

i) Montrer que J est un idéal premier de A.

ii) Déterminer les diviseurs de 3 dans A

iii) Montrer que J n’est pas un idéal principal

iv) L’application N définie-t-elle un stathme sur A?
Exercice 4
On considère les trois réel a = , b = et c =a + b.

1 Montrer que ces trois éléments sont algébriques sur ℚ

2 Déterminer le polynôme minimal sur ℚ de a et b

3 Déterminer le degré de l’extension K=ℚ[a, b]de ℚ

4 Déterminer le polynôme minimal de b sur ℚ[a]

5. Quel est le degré du polynôme minimal de c sur ℚ ?

6. Déterminer le polynôme minimal de c sur ℚ

7. Quels sont les degrés possibles pour les extensions intermédiaires de K ?

8. Déterminer le degré de l’extension K[j] sur ℚ, où j désigne une racine primitive troisième de l’unité.

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