Examen Anneaux et Corps | Anneau - Congruence

Thèmes :

Exercice 1: Congruence / Element inversible / Anneau / Division euclidienne /
Exercice 2: Sous anneau / Homomorphisme d’anneau / Element inversible
Exercice 3: Polynôme irréductible / Racine

Extrait :

Examen Anneaux et Corps | Anneau – Congruence

Exercice 1

Le but de cet exercice est de déterminer tous les entiers k telles que ${ k }^{ k }$ – 3 est divisible par 7

Résoudre le système de congruences $\begin{cases} x=3\quad (mod7) \\ x=1\quad (mod6) \end{cases}$
2.Quelles sont l’ensembles de éléments inversibles dans l’anneau Z/7Z ? On note (Z/7Z)* cet ensemble
3.Pour x ∈ (Z/7Z)*, que vaut x⁶?
4. Soient a et b ets le reste dans le division euclidienne de l’entier k respectivement par 7 et 6.On suppose que a est non nul.Montrer que ${ k }^{ k }={ a }^{ 6 }(mod7)$
5.Quels sont les entiers k tels que ${ k }^{ k }-3$ est divisible par 7?

Exercise 2

On considère l’ensemble
$Z[\sqrt { 7 } ]=\left\{ a+b\sqrt { 7 } |(a.b)\in Z \right\}$
muni de l’addition et de la multiplication des rééls

1.Montrer que (Z[√7],+,*) est un sous anneau de R
2. Montrer que l’application t: Z[√7]–>Z[√7] a+b√7 –>a-b√7

est un homomorphisme d’anneau

3.Montrer que l’élément S+3√7 est un inversible dans Z[√7]
4.On note (Z[√7])* le groupe des éléments inversibles de Z[√7].Montrer que S + 3√7 est d’ordre infinie dans (Z[√7])*
5.Si c ∈ Z.On note $\bar { c }$ sa classe dans Z/3Z.Montrer que l’application f:Z[√7]–>Z/3Z a+b√7–> $\bar { a+2b }$
est un homomorphisme d’anneu
PROBLEME SOMME CARREE
On dit qu’un polynôme réel f ∈ ℝ[X] est somme de deux carrés si f=p²+q² où p et q sont deux polynômes réels(éventuellement nuls).
1) On suppose que f est somme de deux carrés.Montrer k est pair.
2)On suppose que f(x)≥0 , pour tout x ∈ ℝ et que $\alpha$ ∈ ℝ est une racine réel de f d’ordre k.Montrer que k est pair.