Partiel Analyse Hilbertienne et de Fourier | Espace de Hilbert - Espace préhilbertien

Thèmes :

Exercice 1: Espace préhilbertien / Sous espace vectoriel / Somme directe
Exercice 2: Espace de Hilbert / Convexe / Théorème de projection sur une partie convexe complète / Identité du parallélogramme / Suite convergente

Extrait :

Partiel Analyse Hilbertienne et de Fourier | Espace de Hilbert – Espace préhilbertien

EXERCICE 1

Soit f une fonction numérique de classe ${ C }^{ 1 }$ dans $latex{ ℝ }^{ 2 }$. On considère l’application ( $\Phi$ de
Vers donnée par
$\Phi (x,y)=(f(x,y),2x)$
1. Ecrire la matrice jacobienne $J\Phi (x,y)$ de l’application $\Phi$ au point (at, y) de R2.
2. Déterminer toutes les fonctions f telles que la matrice $J\Phi (x,y)$ soit, en tout point (x, y) de la forme
$\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}$ pour tout (x,y) de
ou $\alpha$ et $\beta$ sont des coefficients réels (dépendant de x et y)
3. On choisit une fonction f satisfaisant aux exigences de la question 2. Déterminer
l’ensemble des points (a,y) pour lesquels la différentielle de est une rotation vectorielle.

EXERCICE 2
Soient a un nombre réel et ${ Q }_{ a }$ l’application qui a tout point $x({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 })$ de associe
${ Q }_{ a }(x)=({ x }_{ 1 }^{ 2 }+2{ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }+a{ x }_{ 2 }{ x }_{ 3 }$
1. Montrer que Qa est une forme quadratique sur et donner sa forme polaire.
2. Déterminer, selon la valeur du paramétre a, le rang et la signature de ${ Q }_{ a }$
3. Trouver une base de orthogonale pour ${ Q }_{ a }$
PROBLEME

Soient f une fonction continue sur [0, 1] et $\alpha$ un réel, avec $\alpha >0$ . On suppose qu’il existe
une constante $A\ge 0$ telle que l’on ait
(C) $|f(t)|\le A{ t }^{ \alpha }$ pour tout t de [0,1].
On pose alors, pour x ∈ [0, +∞[,
$F(x)=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { f(t) }{ t+x } } dt$
1. Montrer que l’intégrale ci—dessus existe pour tout x de [0, +∞[.
2.Montrer que la fonction F est Continue sur [0,+∞[.
3.(a) Montrer que la fonction F est dérivable sur ]0, +∞[ et, pour m dans cet intervalle,
exprimer F’ sous forme d’une intégrale.
(b) Pour x > 0, calculer explicitement F(x) lorsque $f(t)=\sqrt { t }$ et en déduire la Valeur
$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { \sqrt { t } }{ (t+x{ ) }^{ 2 } } } dt$
4.(a) Montrer que si on suppose $\alpha >1$ , alors F est aussi dérivable a droite en 0 et exprimer F’(0) sous forme d’une intégrale.
(b) On considère l’exemple f(t) = t. Que vaut F(0) ? Calculer ensuite F(x) explicitement pour x > 0. En déduire que dans le cas $\alpha \le 1$ , il peut arriver que la fonction F ne soit pas dérivable a droite en 0.
5. Dans toute Cette question on suppose $\alpha { 1 }/{ 2 }$
(a) Montrer qu’on a alors, pour tout réel y > 0,
$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { dt }{ { t }^{ 1-\alpha }(t+y) } } \le (\frac { 1 }{ (2\alpha -1) } { ) }^{ { 1 }/{ 2 } }(\frac { 1 }{ y } { ) }^{ { 1 }/{ 2 } }$