Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Noyau de Fejer – Théorème de Weierstrass

Thèmes :

Questions de cours: Théorème de Weierstrass / Théorème de convergence normal
Exercice 1: Noyau de Fejer / Fonction périodique / Fonction continue
Exercice 2: Polynôme trigonométrique
Exercice 3: Noyau de Jackson / Continue par morceaux / Fonction périodique / Intégrale / Majoration
Exercice 4: Fonction de Weierstrass / Fonction non dérivable / Prolongement par continuité

Extrait :

Question de cours.

Énoncer le premier théorème de Weierstrass.
Énoncer le théorème de convergence normale.

Problème. On désigne par D l’espace vectoriel des fonctions f continues par morceaux sur ℝ, 2¶-périodiques
à valeur dans ℂ vérifiant, pour tout t ∈ ℝ,

On munit D de la norme dt
L’application qui, à tout couple (f, g) d’éléments de D, associe

est un produit scalaire. On désigne par , la norme associée à ce produit scalaire.

Soit ℂ le sous-espace vectoriel de D formé des fonctions continues sur ℝ, 2¶-périodiques à valeurs dans ℂ.
Pour tout p ∈ ℤ, on note , la fonction

Si f est une fonction 2¶—périodique et continue par morceaux, on désigne par son k—ième coefficient de Fourier exponentiel.
Rappels.

I. Le noyau de Fejer. Pour chaque entier n ∈ ℕ, on définit une fonction par

La fonction est 2¶-périodique et continue.
1. Vérifier que la fonction et paire et que $ { K }_{ n }$(O) = n + 1.
2. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ — 2¶ℤ, on a

et exprimer en fonction de sin,n et t

3. En déduire que, pour tout t ∈ ℝ — 2¶ℤ, on a
Indications.
– On pourra dériver l’égalité (l)?
– Utiliser les formules d’addition sin(a ± b) et cos(a ± b) et les formules de linéarisation sin a sin b.
4. Montrer que = 1
5. Montrer que, pour O ≤ s ≤ ¶, on a sin . En déduire que, pour s ∈ ℝ — 2¶ℤ, on a
II. Soit. f : ℝ ℂ une fonction 2¶-périodique et continue sur ℝ et soit
trigonométrique. Montrer que, pour tout entier n ∈ ℤ,

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