Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Noyau de Fejer - Théorème de Weierstrass

Thèmes :

Questions de cours: Théorème de Weierstrass / Théorème de convergence normal
Exercice 1: Noyau de Fejer / Fonction périodique / Fonction continue
Exercice 2: Polynôme trigonométrique
Exercice 3: Noyau de Jackson / Continue par morceaux / Fonction périodique / Intégrale / Majoration
Exercice 4: Fonction de Weierstrass / Fonction non dérivable / Prolongement par continuité

Extrait :

Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Noyau de Fejer – Théorème de Weierstrass

Question de cours.

Énoncer le premier théorème de Weierstrass.
Énoncer le théorème de convergence normale.

Problème. On désigne par D l’espace vectoriel des fonctions f continues par morceaux sur ℝ, 2¶-périodiques
à valeur dans ℂ vériﬁant, pour tout t ∈ ℝ,

$f(t)=\frac { f({ t }^{ + })+f({ t }^{ - }) }{ t }$

On munit D de la norme $f\mapsto { \left\| f \right\| }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left| f(t) \right| }$ dt
L’application qui, à tout couple (f, g) d’éléments de D, associe

$\left( f|g \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ -\pi }^{ \pi }{ \bar { f(t) } } g(t)$

est un produit scalaire. On désigne par ${ \left\| . \right\| }_{ 2 }$ , la norme associée à ce produit scalaire.

Soit ℂ le sous-espace vectoriel de D formé des fonctions continues sur ℝ, 2¶-périodiques à valeurs dans ℂ.
Pour tout p ∈ ℤ, on note ${ e }_{ p }$ , la fonction $t\mapsto { e }^{ ipt }$

Si f est une fonction 2¶—périodique et continue par morceaux, on désigne par $\widehat { f } (k)$ son k—ième coefficient de Fourier exponentiel.
Rappels.

$sinx=x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 5! } +...+{ (-1) }^{ p }\frac { { x }^{ 2p+1 } }{ \left( 2p+1 \right) ! } +{ x }^{ 2p+2 }\in \left( { x }^{ 2p+2 } \right)$

$cosx=1-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +...+{ (-1) }^{ p }\frac { { x }^{ 2p } }{ \left( 2p \right) ! } +{ x }^{ 2p+1 }\in \left( { x }^{ 2p+1 } \right)$

I. Le noyau de Fejer. Pour chaque entier n ∈ ℕ, on déﬁnit une fonction par

${ K }_{ n }(t)=\sum _{ k=-n }^{ n }{ \left( 1-\frac { \left| k \right| }{ n+1 } \right) } { e }^{ ikt }$

La fonction ${ K }_{ n }$ est 2¶-périodique et continue.
1. Vériﬁer que la fonction ${ K }_{ n }$ et paire et que $ { K }_{ n }$(O) = n + 1.
2. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ — 2¶ℤ, on a

$\sum _{ k=1 }^{ n }{ sinkt=\frac { sin\frac { n }{ 2 } tsin\frac { n+1 }{ 2 } t }{ sin\frac { t }{ 2 } } }$

et exprimer $\sum _{ k=-n }^{ n }{ { e }^{ ikt } }$ en fonction de sin,n et t

3. En déduire que, pour tout t ∈ ℝ — 2¶ℤ, on a ${ K }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ n+1 } { \left( \frac { sin\frac { n+1 }{ 2 } t }{ sin\frac { t }{ 2 } } \right) }^{ 2 }$
Indications.
– On pourra dériver l’égalité (l)?
– Utiliser les formules d’addition sin(a ± b) et cos(a ± b) et les formules de linéarisation sin a sin b.
4. Montrer que ${ \left\| { K }_{ n } \right\| }_{ 1 }$ = 1
5. Montrer que, pour O ≤ s ≤ ¶, on a sin $\frac { \pi }{ 2 } \ge \frac { s }{ \pi }$ . En déduire que, pour s ∈ ℝ — 2¶ℤ, on a ${ K }_{ n }(s)\le \frac { { \pi }^{ 2 } }{ \left( n+1 \right) }$
II. Soit. f : ℝ $\rightarrow$ ℂ une fonction 2¶-périodique et continue sur ℝ et soit $p=\sum _{ k=-N }^{ N }{ { a }_{ k } } { e }_{ k }$
trigonométrique. Montrer que, pour tout entier n ∈ ℤ,
$\widehat { fp } (n)=\sum _{ k=-N }^{ N }{ { a }_{ k } } \bar { f } (n-k)$