Partiel Analyse Hilbertienne et de Fourier + Correction | Adhérence – Adjoint

Thèmes :

Exercice 1: Espace de Hilbert / Endomorphisme / Adjoint / Sous espace vectoriel / Orthogonal / Adhérence / Norme / Projecteur / Isométrie partielle / Image / Noyau
Exercice 2: Espace de Hilbert / Sous espace affine / Théorème de projection sur une partie convexe complète

Extrait :

L3 MATHS-INFO 20032009

PARTIEL ANALYSE HILBERTIENNE
Le 6 octobre 2008
Durée : 2h
Documents et calculatrice non autorisés

Exercice 1. Soit H un espace de Hilbert réel. On note l’algèbre des endomorphismes
continus de H. Pour u ∈ , on note u* l’adjoint de u. On rappelle que l’application
est un endomorphisme de et que, pour tout (u, v) ∈ , on a||u|| = ||u*|| et (uov)* =
v* ou u*. On rappelle que si F est un sous-espace vectoriel de H, alors
1. Soit T ∈
(3) Montrer que ||T*oT|| = ||T*||²
(b) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) T = 0, (ii) T*oT = 0, (iii)ToT* = 0.
2. Soit u ∈ Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) uou*ou = u,
(ii) u*ou est un projecteur,
(iii) uou* est un projecteur.
Si u ∈ ) satisfait ces conditions équivalentes, on dit que u est une isométrie partielle
3. Soit u une isométrie partielle.
(a) Montrer que Im(u*ou.) est fermé.
(b) Montrer Ker(u*ou) = Ker u.
(c) Montrer que Im(u*ou.) =
Exercice 2. Soit H un espace de Hilbert réel. On dit qu’un sous-ensemble non vide A de H est
un sous-espace affine si, pour tout ℝ et tout (x,y) ∈ H², on a . On dit
qu’une application T: H ——> H est affine si, pour tout et tout (x, y) ∈ H², on a.

Soit A un sous-ensemble affine fermé de H.
1. Montrer que, pour tout x ∈ H, il existe un unique x₀ ∈ A tel que d(x,A) = ||x — x₀||.

Soit l’application qui à x ∈ H associe l’unique point x₀ ∈ A tel que
d(x,A) = ||x— x₀|| .
2. Soit x ∈ H. Montrer que est caractérisé par ∈ A et, pour tout (y,z) ∈ A²,

Indication. On pourra commence: par montrer que, pour tout y ∈ A, — y ∈ A, puis
considérer
3. Montrer que l’application est affine.
4- Montrer que pour tout (x,y) ∈ H², (x – y| – ) = || – ||²

Aperçu :

Téléchargement :