Partiel Analyse Hilbertienne et de Fourier + Correction | Adhérence - Adjoint

Thèmes :

Exercice 1: Espace de Hilbert / Endomorphisme / Adjoint / Sous espace vectoriel / Orthogonal / Adhérence / Norme / Projecteur / Isométrie partielle / Image / Noyau
Exercice 2: Espace de Hilbert / Sous espace affine / Théorème de projection sur une partie convexe complète

Extrait :

Partiel Analyse Hilbertienne et de Fourier + Correction | Adhérence – Adjoint

L3 MATHS-INFO 20032009

PARTIEL ANALYSE HILBERTIENNE
Le 6 octobre 2008
Durée : 2h
Documents et calculatrice non autorisés

Exercice 1. Soit H un espace de Hilbert réel. On note ${ \L }_{ c }(H)$ l’algèbre des endomorphismes
continus de H. Pour u ∈ ${ \L }_{ c }(H)$ , on note u* l’adjoint de u. On rappelle que l’application $u\mapsto u*$
est un endomorphisme de ${ \L }_{ c }(H)$ et que, pour tout (u, v) ∈ ${ \L }_{ c }(H{ ) }^{ 2 }$ , on a||u|| = ||u*|| et (uov)* =
v* ou u*. On rappelle que si F est un sous-espace vectoriel de H, alors ${ F }^{ \bot \bot }=\bar { F }$
1. Soit T ∈ ${ \L }_{ c }(H)$
(3) Montrer que ||T*oT|| = ||T*||²
(b) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) T = 0, (ii) T*oT = 0, (iii)ToT* = 0.
2. Soit u ∈ ${ \L }_{ c }(H)$ Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) uou*ou = u,
(ii) u*ou est un projecteur,
(iii) uou* est un projecteur.
Si u ∈ ${ \L }_{ c }(H)$ ) satisfait ces conditions équivalentes, on dit que u est une isométrie partielle
3. Soit u une isométrie partielle.
(a) Montrer que Im(u*ou.) est fermé.
(b) Montrer Ker(u*ou) = Ker u.
(c) Montrer que Im(u*ou.) = $(Keru{ ) }^{ \bot }$
Exercice 2. Soit H un espace de Hilbert réel. On dit qu’un sous-ensemble non vide A de H est
un sous-espace affine si, pour tout $\alpha \epsilon$ ℝ et tout (x,y) ∈ H², on a $\alpha x+(1-\alpha )y\epsilon A$ . On dit
qu’une application T: H ——> H est affine si, pour tout et tout (x, y) ∈ H², on a.
$T(\alpha x+(1-\alpha )y)=\alpha T(x)+(1-\alpha )T(y)$
Soit A un sous-ensemble affine fermé de H.
1. Montrer que, pour tout x ∈ H, il existe un unique x₀ ∈ A tel que d(x,A) = ||x — x₀||.

Soit ${ P }_{ A }:H\rightarrow H$ l’application qui à x ∈ H associe l’unique point x₀ ∈ A tel que
d(x,A) = ||x— x₀|| .
2. Soit x ∈ H. Montrer que ${ P }_{ A }(x)$ est caractérisé par ${ P }_{ A }(x)$ ∈ A et, pour tout (y,z) ∈ A²,
$(y-z|x-{ P }_{ A }(x))=0$
Indication. On pourra commence: par montrer que, pour tout y ∈ A, $2{ P }_{ A }(x)$ — y ∈ A, puis
considérer $({ P }_{ A }(x)-y|x-{ P }_{ A }(x))$
3. Montrer que l’application ${ P }_{ A }$ est afﬁne.
4- Montrer que pour tout (x,y) ∈ H², (x – y| ${ P }_{ A }(x)$ – ${ P }_{ A }(y)$ ) = || ${ P }_{ A }(x)$ – ${ P }_{ A }(y)$ ||²