Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier – Endomorphisme

Examen Analyse – 2005 – N°1 – Niveau L1

Thèmes :

Exercice 1: Coefficients de Fourier / Formule de Parseval
Exercice 2: Fonction continue par morceaux / Fonction périodique / Coefficients de Fourier
Exercice 3: Espace de Hilbert / Endomorphisme continu / Projecteur orthogonal / Adhérence d’un sous espace vectoriel / Orthogonal / Noyau / Image / Adjoint / Convergence / Suite / Supplémentaires orthogonaux

Extrait :

Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que u est un endomorphisme continu de H, alors
il existe un unique endomorphisme continu, appelé adjoint de u. et noté u‘, tel que, pour tout (x,y) ∈ on ait

L’application . est linéaire. On a et
Exercice 1. On note E l’ensemble des applications périodique et de classe
sur ℝ. Pour f ∈ E, on note
1. Montrer que, pour tout entier n ∈ ℤ, on a .
2. Etablir l’existence d‘un réel c tel que, pour tout f ∈ E, on ait

Indication. On pourra appliqué deux fois la formula de Parseval.
Exercice 2. Soit une fonction continue par morceaux et $laetx 2\pi$ périodique. Soit
un polynôme trigonometnque, n ∈ ℕ. Exprimer, pour n ∈ ℤ, ,
fonction des coefficients de Fourier de f
Exercice 3. Soit H un espace de Hilbert et soit u un endomorphisme de H, continu de norme
3 1. Pour chaque n ∈ ℕ, on pose
L’objectif de cet exercice est de montrer que, pour tout z ∈ H, la suite converge p(x) on p est le projecteur orthogonal sur Ker(Id — u).
On rappelle que l’adhérence d’un sous-espace vectrfiel de H est un sous-espace vectoriel.
1. Justifier l’existence du projecteur orthogonal p sur Ker(Id – u).
2. (a) Montrer que l’orthogonal d’une partie X de H est fermé.
(b) Montrer que
(c) Montrer que En déduire que
3. (a) Pour z ∈ H , montrer les équivalences

(b) Montrer que . En déduire que, pour tout x ∈ Ker(Id —u)* la suite converge vers 0.
(c) Pour x ∈ Im(Id — u), montrer que la suite converge vers 0.
(d) Montrer que, pour tout entier , on a
(e)En déduire que la. suite converge vers D pour
(f) Montrer que les sous-espaces Ker(Id — u) et sont supplémentaires orthogonaux dans H.

Aperçu :

Téléchargement :