Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier - Endomorphisme

Examen Analyse – 2005 – N°1 – Niveau L1

Thèmes :

Exercice 1: Coefficients de Fourier / Formule de Parseval
Exercice 2: Fonction continue par morceaux / Fonction périodique / Coefficients de Fourier
Exercice 3: Espace de Hilbert / Endomorphisme continu / Projecteur orthogonal / Adhérence d’un sous espace vectoriel / Orthogonal / Noyau / Image / Adjoint / Convergence / Suite / Supplémentaires orthogonaux

Extrait :

Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier – Endomorphisme

Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que u est un endomorphisme continu de H, alors
il existe un unique endomorphisme continu, appelé adjoint de u. et noté u‘, tel que, pour tout (x,y) ∈ ${ H }^{ 2 }$ on ait
$=$
L’application $u\rightarrow { u }^{ * }$ . est linéaire. On a ${ u }^{ ** }$ et $I{ d }^{ * }=Id$
Exercice 1. On note E l’ensemble des applications périodique et de classe ${ C }^{ 1 }$
sur ℝ. Pour f ∈ E, on note
1. Montrer que, pour tout entier n ∈ ℤ, on a ${ c }_{ n }({ f }^{ ' })=in{ c }_{ n }(f)$ .
2. Etablir l’existence d‘un réel c tel que, pour tout f ∈ E, on ait
$\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ (f(t)-{ m }_{ f } } { ) }^{ 2 }dt\le c\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { f }^{ ' }(t{ ) }^{ 2 } } dt$
Indication. On pourra appliqué deux fois la formula de Parseval.
Exercice 2. Soit une fonction continue par morceaux et $laetx 2\pi$ périodique. Soit $p=\sum _{ k=-N }^{ N }{ \daleth { k }^{ e }k }$
un polynôme trigonometnque, n ∈ ℕ. Exprimer, pour n ∈ ℤ, ${ c }_{ n }(fp)$ ,
fonction des coefficients de Fourier de f
Exercice 3. Soit H un espace de Hilbert et soit u un endomorphisme de H, continu de norme $|||u|||\le 1$
3 1. Pour chaque n ∈ ℕ, on pose ${ u }_{ n }=\frac { 1 }{ 1+n } \sum _{ k=0 }^{ n }{ { u }^{ k } }$
L’objectif de cet exercice est de montrer que, pour tout z ∈ H, la suite $({ u }_{ n }(x))$ converge p(x) on p est le projecteur orthogonal sur Ker(Id — u).
On rappelle que l’adhérence d’un sous-espace vectrﬁel de H est un sous-espace vectoriel.
1. Justiﬁer l’existence du projecteur orthogonal p sur Ker(Id – u).
2. (a) Montrer que l’orthogonal d’une partie X de H est fermé.
(b) Montrer que $\bar { F } ={ F }^{ \bot \bot }$
(c) Montrer que $ker({ u }^{ * })=(Imu{ ) }^{ \bot }$ En déduire que $\bar { Im({ u }^{ * })=(keru{ ) }^{ \bot } }$
3. (a) Pour z ∈ H , montrer les équivalences
$u(x)=x\Leftrightarrow =||x|{ | }^{ 2 }\Leftrightarrow =||x|{ | }^{ 2 }$
(b) Montrer que $Ker(Id-u)=Ker(Id-u{ ) }^{ * }$ . En déduire que, pour tout x ∈ Ker(Id —u)* la suite $({ u }_{ n }(x))$ converge vers 0.
(c) Pour x ∈ Im(Id — u), montrer que la suite $({ u }_{ n }(x))$ converge vers 0.
(d) Montrer que, pour tout entier $n\ge 1$ , on a $a|||{ u }_{ n }|||\le 1$
(e)En déduire que la. suite $({ u }_{ n }(x))$ converge vers D pour
(f) Montrer que les sous-espaces Ker(Id — u) et $\bar { Im(Id-u) }$ sont supplémentaires orthogonaux dans H.