Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier – Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Fonction périodique / Série de Fourier
Exercice 2: Fonction de classe C1 / Coefficients de Fourier / Suite
Exercice 3: Fonction continue par morceaux / Fonction périodique / Série trigonométrique / Convergence normale / Produit de convolution
Exercice 4: Fonction continue par morceaux / Fonction périodique / Polynôme trigonométrique / Coefficients de Fourier
Exercice 5: Noyau de Dirichlet / Produit de convolution / Norme

Extrait :

L3 MATH S-INFO 2007- 2008

EXAMEN ANALYSE HILBERTIENNE
13 décembre 2007
Durée : 3h
Documents et calculatrice non autorisés

Soient f, g : ℝ —> ℂ continues par morceaux et -périodiques. La fonction f*g est définie sur ℝ par

On rappelle que la fonction f*g est continue et -périodique et que, pour tout entier n ∈ ℤ on a
Pour chaque entier n ∈ ℤ, on définit la fonction sur ℝ par
Pour chaque entier N ∈ ℕ, on pose
On rappelle que, pour tout x ∈ ℝ — ℤ on a

Exercice 1. Soit; f la fonction -périodique telle que, pour tout x ∈ [0, [, on ait
1. Déterminer la série de Fourier de f, Calculer, pour
2. Soit g la fonction continue sur ℝ, impaire, affine sur [O,1], égale à f sur et périodique. Déterminer la série de Fourier de g.
3. En déduire
Exercice 2. Soit f : ℝ ——> ℝ une application impaire, —périodique et de classe C¹, telle que
f(O) = f() = 0 et . Quelle est la parité de f′? Pour n ∈ ℕ*, donner une relation
entre et. . Montrer qu’il existe une suite réelle telle que et,pour tout x ∈ [0, ],

Exercise 3. Soit f : ℝ —> ℂ continue par morceaux et -périodique. Montrer que la série
trigonométrique converge normalement sur ℝ vers f * f.

Exercice 4. Soit f : ℝ —> ℂ une fonction continue par morceaux et -périodique. Soit
un polynôme trigonométrique, N ∈ ℕ. Exprimer, pour n ∈ ℤ, en
fonction des coefiicients de Fourier de f

Exercice 5. Pour chaque entier ℕ ≥ 1, on pose
. Pour x ∈ ℝ, exprimer en fonction des coskx, 0≤k≤N et justifier les inégalités
et
. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ — ℤ, on a

‘ Pour un entier n ∈ ℤ, calculer

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