Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Adhérence – Adjoint

Thèmes :

Exercice 1: Espace de Hilbert / Sous espace vectoriel fermé / Orthogonal / Somme directe / Adhérence
Problème : Espace de Hilbert / Endomorphisme / Adjoint / Forme bilinéaire symétrique / Suite de Cauchy / Projecteur orthogonal / Noyau

Extrait :

Exercice. Soit H un espace de Hilbert
1. Montrer que si A est une partie de H, alors est un sous-espace vectoriel fermé de H.
2. Soit F un sous—espace vectoriel ferrné de H. Montrer que et
3. Soit F un sous—espace vectoriel de H. Montrer que

Problème. Soit H un espace de Hilbert réel. On note l’espace des endomorphismes
continus de H.

Théorème. Soit T un endomorphisme continu de H. 11 existe un unique endomorphisme continu,
noté T*, tel que, pour tout 2:, y ∈ H, on ait

=
L’endomorphisme T* est appelé l’adjoint de T.
Un endomorphisme T ∈ est dit positif si T = T* et si, pour tour. I ∈ H, on a

∈ ℝ₊

On note ∈ application identité. L‘adjoint de l’identité est l’identité i.e. I{ d }*_{ H } = I{ d }_{ H }
L’application * est linéaire.
1. Soit: b : H X H -—> ℝ une forme bilinéaire symétrique positive c-a-d.
– pour tout x,y ∈ H, b(z,y) = b(y,x);
– pour tout x ∈ H, l’application est linéaire;
– pour tout x ∈ H, b(x,x) ≥ O.
Soit x ∈ H tel que b(x,x) ≠ 0 etc suit y ∈ H. Développer, pour tour t ∈ ℝ, b(tx+
y, tx + y), sous la forme d’un trinôme du second degré en t.
En déduire que, pour tout x,y ∈ H, on a
b(x,y)² ≤ b(x,x)b(y,y)
2. Soient T,S ∈ . Montrer que (T*)* = T et (TₒS)* = S*ₒT*.
3. Soit T ∈ un endomorphisme positif.
(a) Montrer que, pour tout S ∈ , S*ₒTₒS est positif, puis que,‘ pour tout entier
n ∈ ℕ, est positif (par convention T° = ).
Indication. Montrer, par récurrence sur n ∈ ℕ, que et sont positifs.
(b) Montrer que, pour tout x,y ∈ H, on a: ²≤.
(c) Si de plus, est positif, montrer que, pour tout x ∈ H,
≤.
(d) Montrer que les assertions suivantes son: équivalentes :
est positif ;
T — T² est positif ;

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