Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier - Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Fonction périodique / Série de Fourier
Exercice 2: Fonction de classe C1 / Coefficients de Fourier / Suite
Exercice 3: Fonction continue par morceaux / Fonction périodique / Série trigonométrique / Convergence normale / Produit de convolution
Exercice 4: Fonction continue par morceaux / Fonction périodique / Polynôme trigonométrique / Coefficients de Fourier
Exercice 5: Noyau de Dirichlet / Produit de convolution / Norme

Extrait :

Examen Analyse Hilbertienne et de Fourier | Coefficients de Fourier – Convergence normale

L3 MATH S-INFO 2007- 2008

EXAMEN ANALYSE HILBERTIENNE
13 décembre 2007
Durée : 3h
Documents et calculatrice non autorisés

Soient f, g : ℝ —> ℂ continues par morceaux et $2\pi$ -périodiques. La fonction f*g est déﬁnie sur ℝ par
$(f*g)(x)=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ f(x-t)g(t)dt }$
On rappelle que la fonction f*g est continue et $2\pi$ -périodique et que, pour tout entier n ∈ ℤ on a ${ c }_{ n }(f*g)={ c }_{ n }(g)$
Pour chaque entier n ∈ ℤ, on déﬁnit la fonction ${ e }_{ n }$ sur ℝ par ${ e }_{ n }(x)=exp(inx)$
Pour chaque entier N ∈ ℕ, on pose ${ D }_{ N }=\sum _{ n=-{ N }^{ { e }_{ n } } }^{ N }$
On rappelle que, pour tout x ∈ ℝ — $2\pi$ ℤ on a
${ D }_{ N }(x)=\frac { sin(N+\frac { 1 }{ 2 } )x }{ sin\frac { 1 }{ 2 } }$
Exercice 1. Soit; f la fonction $2\pi$ -périodique telle que, pour tout x ∈ [0, $2\pi$ [, on ait $f(x)=\pi -x$
1. Déterminer la série de Fourier de f, Calculer, pour $x\epsilon [0,2\pi [,\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { sin(nx) }{ n } }$
2. Soit g la fonction continue sur ℝ, impaire, affine sur [O,1], égale à f sur $[1,\pi ]$ et $2\pi$ périodique. Déterminer la série de Fourier de g.
3. En déduire $\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ (\frac { sinn }{ n } } { ) }^{ 2 }=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { sinn }{ n } }$
Exercice 2. Soit f : ℝ ——> ℝ une application impaire, $\pi$ —périodique et de classe C¹, telle que
f(O) = f( $\pi$ ) = 0 et $\int _{ 0 }^{ \pi }{ { f }^{ ' }(t{ ) }^{ 2 }dt=1 }$ . Quelle est la parité de f′? Pour n ∈ ℕ*, donner une relation
entre ${ b }_{ n }(f)$ et. ${ a }_{ n }(f)$ . Montrer qu’il existe une suite réelle telle que $\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { \alpha }_{ n }^{ 2 } } =\frac { 2 }{ \pi }$ et,pour tout x ∈ [0, $\pi$ ],
$f(x)=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { \alpha }_{ n } } \frac { sinnx }{ n }$

Exercise 3. Soit f : ℝ —> ℂ continue par morceaux et $2\pi$ -périodique. Montrer que la série
trigonométrique ${ c }_{ 0 }(f{ ) }^{ 2 }+\underset { k\ge 1 }{ \sum { ({ c }_{ k } } } (f{ ) }^{ 2 }e-k(f{ ) }^{ 2 }{ e }_{ k })$ converge normalement sur ℝ vers f * f.

Exercice 4. Soit f : ℝ —> ℂ une fonction continue par morceaux et $2\pi$ -périodique. Soit
$p=\sum _{ k=-N }^{ N }{ \Upsilon { k }^{ e } } k$ un polynôme trigonométrique, N ∈ ℕ. Exprimer, pour n ∈ ℤ, ${ c }_{ n }(fp)$ en
fonction des coeﬁicients de Fourier de f

Exercice 5. Pour chaque entier ℕ ≥ 1, on pose ${ F }_{ N }=\frac { 1 }{ N } \sum _{ k=0 }^{ N-1 }{ { D }_{ k } }$
. Pour x ∈ ℝ, exprimer ${ D }_{ N }(x)$ en fonction des coskx, 0≤k≤N et justiﬁer les inégalités
${ D }_{ N }(x)\le { D }_{ N }(0)$ et ${ F }_{ N }(x)\le { F }_{ N }(0)$
. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ — $2\pi$ ℤ, on a ${ F }_{ N }(x)=\frac { 1 }{ N } \frac { { sin }^{ 2 }(Nx/2) }{ { sin }^{ 2 }(x/2) }$