Examen Analyse Complexe | Fonction holo – Intégrale

Thèmes :

Exercice 1: Rayon de convergence
Exercice 2: Série de Laurent
Exercice 3: Singularités / Résidus
Exercice 4: Intégrale
Exercice 5: Série de Taylor
Exercice 6: Cercle / Théorème de Rouché / Racine
Exercice 7: Fonction holomorphe

Extrait :

Toute question demande en réponse non seulement un résultat mais surtout une démonstration. Le
barême n’est donné qu’à titre indicatif.
1. Déterminer les (3 pts) rayons de convergence
(a)
(b) et de
Pour cela on commencera par se demander qui de 93 ou de
45 est le plus grand ! (et on les mettra sous la forme de carrés).
2. Soit
(4 pts) . Déterminer les développements de f en série de Laurent :
(a) pour 0 2.
Soit C le cercle de centre
et de rayon 1. Que vaut ?
3. Déterminer les singularités et les résidus dans C de
(4 pts) . Puis
trouver la valeur de
4. Que vaut dx ? (attention, dans l’exercice précédent il y avait ## { x }^{ 2 }-2x+2$,
ici cela a changé, c’est ).
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5. Soit
la série de Taylor de
en zéro. Trouver ce (3 pts) que valent Puis, déterminer la valeur de
6. Soit
(3 pts) .
points négatifs si
non-réponse ou
réponse fausse! 1. établir
2. Soit C le cercle de centre zéro et de rayon
. Montrer pour
z ∈ C. En déduire en invoquant le théorème de Rouché (et en examinant P′) que P
a exactement quatre racines distinctes vérifiant $latex |z|1+\frac { 1 }{ 14 }$
. On aura montré
(3 pts) 7. Soit et . Soit f une fonction continue sur ,
qui est de plus holomorphe sur . On suppose sur et sur ℝ.
Montrer : sur
Indication : considérer les fonctions
pour > 0.
Université Lille 1 Examen du 16 janvier 2007
Université Lille 1 — …

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