Partiel Analyse Complexe + Correction | Fonction holomorphe – Série

Thèmes :

Exercice 1: Rayon de convergence / Série / Série entière / Série de Taylor / Série de Laurent / Fonction holomorphe

Extrait :

– Dans les énoncés « déterminer » signifie « déterminer en le justifiant ».
– Barême indicatif : 2,3,4,2,2,3,4. Ne méritent des points que des textes constitués de démonstrations
rédigées de manière correcte et complète.
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
.
3. Soit le rayon de convergence d’une série entière et le rayon de convergence
d’une série entière . Soit alors le rayon de convergence de la série
. Prouver et donner un exemple avec l’inégalité stricte.
4. Déterminer la série de Taylor de la fonction Logz au point .
5. Déterminer la série de Laurent pour |z| > 1 de

.
6. Soit et μ deux nombres réels, et soit F la fonction de z = x + iy définie par

Déterminer les valeurs de et μ pour lesquelles F est une fonction entière. Identifier F
lorsque cela est le cas.
7. Soit f une fonction holomorphe sur D(0, 1) vérifiant :
x ∈]−1,+1[ ==> (f(x) ∈ R et f(ix) ∈ R)
Montrer que f est paire.
Université Lille 1 — UFR de Mathématiques
Licence de Mathématiques
(L3, S5, année 2006–2007)
M305 : PARTIEL DU 15 NOVEMBRE 2006
CORRIGÉ
– Dans les énoncés « déterminer » signifie « déterminer en le justifiant ».
– Barême indicatif : 2,3,4,2,2,3,4. Ne méritent des points que des textes constitués de démonstrations
rédigées de manière correcte et complète.
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

Le terme général est . On a
pour donc le rayon de
convergence est au plus

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