Partiel Analyse Complexe + Correction | Dérivées partielles – Détermination principale

Thèmes :

Exercice 1: Série entière / Rayon de convergence
Exercice 2: Détermination principale / Primitive
Exercice 3: Ouvert / Dérivées partielles / Laplacien / Fonction harmonique / Fonction holomorphe

Extrait :

1 Exercice
1.1 On considère la série entière :

Déterminer le rayon de convergence de cette série.
1.2 On suppose |ω| 0.
1.6 Réciproquement montrer que pour tout z avec Re(z) > 0 il existe un unique ω tel que
. Exprimer ω en fonction de z et prouver |ω| 0 =⇒
1.8 En déduire : TOURNEZ LA PAGE
2 Exercice
Soit √z la détermination principale de la racine carrée sur l’ouvert
= C\] −∞, 0], c’est à-
dire √z =
2.1 Que vaut √i ? Que vaut √−i ?
2.2 Soit
. Calculer ℝ
√z dz.
2.3 Montrer que √z possède une primitive F sur
que l’on déterminera explicitement
sous la condition
2.4 Soit . Que vaut ?
3 Exercice
Dans cet exercice on se donne, sur un ouvert U ⊂ C, une fonction f à valeurs complexes. On
supposera que les dérivées partielles jusqu’au deuxième ordre
existent et sont des fonctions continues de z = x + iy.
Soit le « Laplacien ». On rappelle que l’on dit qu’une fonction F est harmonique
sur un ouvert U si elle admet des dérivées partielles continues jusqu’au deuxième
ordre et si sur U.
3.1 Soit g la fonction . Prouver :

3.2 Prouver que f est holomorphe sur U si et seulement si à la fois f et g = zf sont des
fonctions harmoniques sur U.
Université Lille 1 Partiel du 9 novembre 2005
1
Université Lille 1 — UFR de Mathématiques
Licence de Mathématiques (…

Aperçu :