Partiel Analyse Complexe + Correction | Dérivées partielles - Détermination principale

Thèmes :

Exercice 1: Série entière / Rayon de convergence
Exercice 2: Détermination principale / Primitive
Exercice 3: Ouvert / Dérivées partielles / Laplacien / Fonction harmonique / Fonction holomorphe

Extrait :

Partiel Analyse Complexe + Correction | Dérivées partielles – Détermination principale

1 Exercice
1.1 On considère la série entière :
$F(\omega )=2\omega +\frac { 2 }{ 3 } { \omega }^{ 3 }+\frac { 2 }{ 5 } { \omega }^{ 5 }+...=\sum _{ j=0 }^{ \infty }{ \frac { 2{ \omega }^{ 2j+1 } }{ 2j+1 } }$
Déterminer le rayon de convergence de cette série.
1.2 On suppose |ω| < 1. Prouver : F(ω) = Log(1 + ω) − Log(1 − ω). 1.3 On suppose |ω| < 1 et Im(ω) ≥ 0. Prouver 0 ≤ Arg(1+ω) < $latex \frac { \pi }{ 2 }## et − ## \frac { \pi }{ 2 }$ < Arg(1−w) ≤ 0. Quelles sont les inégalités lorsque Im(w) ≤ 0 ? Montrer : |ω| < 1 =⇒ |Arg(1 + ω) − Arg(1 − ω)| < $latex { \pi }$ 1.4 On suppose |ω| < 1. Justifier : $latex F(ω)=log(\frac { 1+ω }{ 1-ω }$ 1.5 On suppose |ω| < 1 et on pose $latex z=\frac { 1+ω }{ 1-ω }$. Montrer |z−1| < |z+1|. En déduire Re(z) > 0.
1.6 Réciproquement montrer que pour tout z avec Re(z) > 0 il existe un unique ω tel que
. Exprimer ω en fonction de z et prouver |ω| < 1. 1.7 En déduire : Re(z) > 0 =⇒ $logz=2\sum _{ j=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 2j+1 } } (\frac { z-1 }{ z+1 } { ) }^{ 2j+1 }$
1.8 En déduire : $2(\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 81 } )$ TOURNEZ LA PAGE
2 Exercice
Soit √z la détermination principale de la racine carrée sur l’ouvert
= C\] −∞, 0], c’est à-
dire √z = $exp(\frac { 1 }{ 2 } Logz)$
2.1 Que vaut √i ? Que vaut √−i ?
2.2 Soit
$\Upsilon :[0,\frac { \pi }{ 2 } ]\longrightarrow \Omega ,\theta \longmapsto \Upsilon (\theta )=cos(\theta )+isin(\theta )$ . Calculer ℝ
√z dz.
2.3 Montrer que √z possède une primitive F sur
que l’on déterminera explicitement
sous la condition $F(1)=\frac { 2 }{ 3 }$
2.4 Soit $\Gamma :[0,2\pi ]\longrightarrow \Omega ,t\longmapsto 2i+{ e }^{ it }$ . Que vaut ?
3 Exercice
Dans cet exercice on se donne, sur un ouvert U ⊂ C, une fonction f à valeurs complexes. On
supposera que les dérivées partielles jusqu’au deuxième ordre $\frac { \vartheta f }{ \vartheta x } ,\frac { \vartheta f }{ \vartheta y } ,\frac { { \vartheta }^{ 2 }f }{ \vartheta { x }^{ 2 } } ,\frac { { \vartheta }^{ 2 }f }{ \vartheta { y }^{ 2 } } ,\frac { { \vartheta }^{ 2 }f }{ \vartheta x\vartheta y } =\frac { { \vartheta }^{ 2 }f }{ \vartheta y\vartheta x }$
existent et sont des fonctions continues de z = x + iy.
Soit $\triangle =\frac { { \vartheta }^{ 2 } }{ \vartheta { x }^{ 2 } } +\frac { { \vartheta }^{ 2 } }{ \vartheta { y }^{ 2 } }$ le « Laplacien ». On rappelle que l’on dit qu’une fonction F est harmonique
sur un ouvert U si elle admet des dérivées partielles continues jusqu’au deuxième
ordre et si $\triangle F=0$ sur U.
3.1 Soit g la fonction $z\longmapsto g(z)=zf(z)$ . Prouver :
$\triangle g=2\frac { \vartheta f }{ \vartheta x } +2i\frac { \vartheta f }{ \vartheta y } +(x,iy)\triangle f$
3.2 Prouver que f est holomorphe sur U si et seulement si à la fois f et g = zf sont des
fonctions harmoniques sur U.
Université Lille 1 Partiel du 9 novembre 2005
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Université Lille 1 — UFR de Mathématiques
Licence de Mathématiques (…