Examen Analyse Complexe | Arc de cercle – Fonction analytique

Thèmes :

Exercice 1: Fonction analytique
Exercice 2: Fonction holomorphe
Exercice 3: Lemme de Jordan / Arc de cercle / Intégrale / Pôles / Lacet

Extrait :

Exercice 1. Déterminer une fonction analytique définie sur
U = ℂ – {(x,0) : x ≤ – 1 ou x ≥ 1}

et telle que f(0) = i et, pour tout z ∈ U, f(z)² = z² -1.

Exercice 2 Déterminer si la fonction suivante

f: z = x + iy x² + 2x – 1 + i(2xy + 2y)
est holomorphe sur ℂ

Exercice 3

A) (Lemme de Jordan) Soit ℂ un arc de cercle de centre O de rayon R et d’angle α
Soit f une fonction continue définie pour |z|>r telle que

Montrer que : = 0

B) On se propose de calculer l’intégrale dx

A quelle condition sur α l’intégrale existe-t-elle ?

Montrer que pour α = p/q, on a dt
Quels sont les pôles de

Soit A le point d’affixe R > 1 et B celui d’affixe . On considère le lacet « OABO »
Calculer dz
Calculer I(α) à l’aide du lemme de Jordan.

Calculer I(α) dans le cas où α n’est pas rationnel

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