Examen Analyse Complexe | Bijection – Différentiabilité

Thèmes :

Exercice 1: Image d’une droite
Exercice 2: Différentiabilité / Différentielle / Ouvert / Holomorphe
Exercice 3: Fonction holomorphe / Ouvert connexe
Exercice 4: Disque unité / Fonction analytique / Bijection / Lemme de Schwarz / Fonction holomorphe

Extrait :

Exercice .1 Déterminer l’image d’une droite y = b, b ∈ ℝ par l’application

Déterminer l’image d’une droite x = a,a ∈ ℝ par l’application

Exercice 2. Pour z = x + iy, x, y ∈ ℝ, on pose f(z) = x + iy². Montrer que f est ℝ-différentiable
sur ℂ et calculer sa différentielle. Existe—t—il un ouvert U de ℂ telle que f soit holomorphe sur U ?

Exercice 3. Montrer que si ℂ est une fonction holomorphe sur un ouvert U connexe
vérifiant f(U) ⊂ ℝ, alors f est constante sur U.

Exercice 4. Soit D = D(0, 1) le disque unité (ouvert) et soit G l’ensemble des fonctions analytiques f : D —> D analytiques et bijectives telles que f⁻¹ soit analytique sur D.
1 Montrer que G est un groupe pour la composition.
2. Soit a ∈ D et soit la fonction définie par
(a) Montrer que est bien définie et continue sur D.
(b) On veut montrer qua (D) ⊂ D.
i. Montrer que si |z| = 1, alors | (z) | = 1. En déduire que, pour tout z ∈ D, on a | (z) | ≤ 1
ii. Montrer que, pour tout z ∈ D, on a | (z) | < 1. On pourra. suppose: qu’il existe z₀ ∈ D tel que | $latex { f }_{ a }$ (z₀) | = 1 et raisonner par 1’absurde. (c) Montrer que l‘application D ——> D,z ——> | (z) |, notée encore , appartient à G (on
déterminera la bijection réciproque de cette application).

3. Montrer que tout élément de G est la forme

α ∈ D, θ ∈ ℝ

On pourra considère un élément g ∈ G‘ et la fonction où a = g(o), et utiliser
le lemme de Schwarz : si h : D ——> ℂ une fonction holomorphe vérifiant h(0) = 0 et
h(D) ⊂ D, alors, pour tout z ∈ D, on a
|h(z)| ≤ |z|
S’il existe un z₀ ∈ D non nul tel que |h(z₀)| = |z₀|, alors il existe un nombre complexe λ
de module 1 tel que h(z) = λz pour tout z ∈ D.

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