Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité - Convergence absolue

Thèmes :

Questions de cours: Série alternée / Théorème de convergence des séries alternées / Reste / Continuité
Exercice 1: Suite de fonction / Convergence simple / Limites / Convergence uniforme / Série /
Exercice 2: Série / Majoration / Reste d’odre n / Série absolument convergente / Série uniformément convergente / Continuité / Dérivabilité / Intégrale

Extrait :

Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité – Convergence absolue

L2 Math-Info Annéc 2006-2007
Suites at séries de fonctions
Examen pantie] du 23 Mars 2007

Les documents, cahzulettes et vinis sont interdits

Questions préliminaires ( 4 points)

0.1 On considère une série alternée de terme générai ${ v }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }{ u }_{ n }$ avec ${ u }_{ n }>0$
0.1 Enoncer le théorème de convergence des séries alternées .
0.1‘b. Montrer que si la série vériﬁe les conditions du 0.1.a alors le reste ordre n
${ R }_{ n }=\sum _{ p=n+1 }^{ +\infty }{ (-1{ ) }^{ n } } { u }_{ p }$
de la série alternée est majoré en module par ${ u }_{ n }$
0.2. Montrer que la fonction $x\mapsto \sum _{ 1 }^{ +\infty }{ \frac { cos(n{ x }^{ 2 }) }{ { n }^{ 2 } } }$ est continue sur ℝ

Exercice 1 (8 points)

Soit la suite de fonction $({ f }_{ n }{ ) }_{ n }\ge 1$ avec définie par ${ f }_{ n }(x)=\frac { { n }^{ \alpha }x }{ 1+{ n }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }$
1.1. On cherche tout d’abord à étudier la suite $({ f }_{ n }{ ) }_{ n\ge 1 }$ en fonction de $\alpha$

1.1.a Etudier la convergence simple sur ℝ de la suite de fonction ${ f }_{ n }$ en distinguant les trois cas $\alpha >2$ , $\alpha =2$ et Pour chaque cas,on donnera l’expression de la fonction limite f et le domaine de ℝ où la convergence a lieu.
1.1.b Dans le cas où que Peut-on dire de la fonction limite f? Qu’on déduire à propos de la convergence uniforme sur ℝ de la suite de fonctions $({ f }_{ n })$ ?
1.1.c Dans le cas où.Etudier les variation de la fonction.En déduire les valeurs de pour lesquelles la suites de fonction convergence uniformément sur ℝ vers la fonction nulle
1.2 Dans le cas où,on cherche à étudier la série en fonction de
1.2.a Déterminer les cas pour les quels la séries convergente normal sur ℝ
1.2.b En déduire que ,pour les coefficients $\alpha$ déterminés à la question précédente,la fonction F définie par
$F(x)=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { f }_{ n } } (x)$ pour x ∈ ℝ est continue sur ℝ.On citera précisément le résultat utilisé.

Exercice 2
On pose pour x réel ℝ en n > 0

2.1. Montrer que pour tout x réel, la série $\sum { { u }_{ n } }$ (x) n’est pas absolument convergente et donner une majoration de son reste d’ordre n, ${ R }_{ n }(x)=\sum _{ p=n+1 }^{ +\infty }{ { u }_{ p } } (x)$
2.2 Montrer que pour tout x réel,la série $\sum { { u }_{ n } } (x)$ n’est pa absolument convergente.
2.3 Montrer que la série de fonctions ${ { u }_{ n } }$ est uniformément convergente sur tout segment de R.
On note u sa somme,définie pour x réel par $u(x)=\sum _{ p=1 }^{ +\infty }{ { u }_{ p } } (x)$
2.4 La série de fonction est-elle normalement convergente sur ℝ.Est-elle uniformément convergente sur ℝ