Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité - Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Suite / Convergence simple / Convergence uniforme / Suite de fonction
Exercice 2: Convergence normale / Convergence simple / Continuité / Limites
Exercice 3: Convergence simple / Reste / Série de fonction / Convergence uniforme / Continuité / Fonction somme / Intégrale

Extrait :

Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité – Convergence normale

Exercice 1.
On considére clans cet exercice la suite de fonctions $({ f }_{ n })$ déﬁnies sur ℝ par ${ f }_{ n }(x)={ n }^{ 2 }{ e }^{ -nx }$

1/ Etudier la convergence. simple de cette suite de fonctions.
2/ Etudier la fonction $({ f }_{ n })$ , et en déduire que la suite de fonctions converge uniformément sur ℝ₊ si et seulement si a < 1. 3/ On pose a = 0 ; déterminer la limite simple de la suite de fonctions $latex { f }_{ n }^{ ' }$ En déduire que cette suite de fonctions ne converge pas uniformément sur ℝ₊ Exercice 2. Pour x>0 et x≥1, on pose ${ u }_{ n }(x)=\frac { 1 }{ { n }^{ x } }$

1/ Pour quelles valeur de x la série de terme général ${ u }_{ n }(x)$ est-elle convergente ?
En déduire le domaine de convergence simple de la série
2,’ On note, pour tout x>1, $\zeta (x)=\underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } (x) }$
a/ Montrer que la série de fonctions converge normalement vers $\zeta$ sur tout intervale
de la forme [a, +∞[ pour a > 1, et en déduire que la fonction $\zeta$ est continue sur ]1, +∞[

b/ .Montrer que la fonction $\zeta$ est de classe sur ]1,+∞[. Quelle est sa limite en +∞?

Exercice 3

On considère la série de fonctions de terme général ${ u }_{ n }(x)=(-1{ ) }^{ n\frac { { e }^{ -nx } }{ n } }$

1/ Etudier la convergence simple de la série de fonctions $\underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } }$

2/ En majorant 1e reste ${ R }_{ n }(x)=\sum _{ k=n+1 }^{ +\infty }{ { u }_{ k } } (x)$ , montrer que la série de fonctions
$\underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } }$ latex converge uniformément sur [O,+∞[, et en déduire que la fonction $\underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n } } } (x)$ est continue sur [0, +∞[
3/ Etudier la convergence simple de la série de fonctions $\underset { n\ge 1 }{ \sum { { u }_{ n }^{ ' } } }$
Somme. Montrer que cette série converge uniformément vers T sur tout intervalle
de la forme [a,+∞[, a > 0, puis que pour tout x > 0 on a $T(x)=\frac { { e }^{ -x } }{ 1+{ e }^{ -x } }$
4/ Montrer que pour tout x > 0 on a. |S(x)|≤ ${ e }^{ -x }$ , en déduire la limite de S en +∞;
En déduire que pour tout x ≥ 0, on a.
$S(x)=-\int _{ x }^{ +\infty }{ T(t) }$ dt,
et calculer S(x). En déduire les sommes des séries $\underset { n\ge 1 }{ \sum { \frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n } } }$ et $\underset { n\ge 1 }{ \sum { \frac { (-1{ ) }^{ n }{ e }^{ -n } }{ n } } }$