Partiel Suites et Séries de Fonctions | Continuité – Convergence normale

Thèmes :

Exercice 1: Suite / Convergence simple / Convergence uniforme / Suite de fonction
Exercice 2: Convergence normale / Convergence simple / Continuité / Limites
Exercice 3: Convergence simple / Reste / Série de fonction / Convergence uniforme / Continuité / Fonction somme / Intégrale

Extrait :

Exercice 1.
On considére clans cet exercice la suite de fonctions définies sur ℝ par

1/ Etudier la convergence. simple de cette suite de fonctions.
2/ Etudier la fonction , et en déduire que la suite de fonctions converge uniformément sur ℝ₊ si et seulement si a 0 et x≥1, on pose

1/ Pour quelles valeur de x la série de terme général est-elle convergente ?
En déduire le domaine de convergence simple de la série
2,’ On note, pour tout x>1,
a/ Montrer que la série de fonctions converge normalement vers sur tout intervale
de la forme [a, +∞[ pour a > 1, et en déduire que la fonction est continue sur ]1, +∞[

b/ .Montrer que la fonction est de classe sur ]1,+∞[. Quelle est sa limite en +∞?

Exercice 3

On considère la série de fonctions de terme général

1/ Etudier la convergence simple de la série de fonctions

2/ En majorant 1e reste , montrer que la série de fonctions
latex converge uniformément sur [O,+∞[, et en déduire que la fonction est continue sur [0, +∞[
3/ Etudier la convergence simple de la série de fonctions
Somme. Montrer que cette série converge uniformément vers T sur tout intervalle
de la forme [a,+∞[, a > 0, puis que pour tout x > 0 on a
4/ Montrer que pour tout x > 0 on a. |S(x)|≤ , en déduire la limite de S en +∞;
En déduire que pour tout x ≥ 0, on a.
dt,
et calculer S(x). En déduire les sommes des séries et

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