Exercices Analyse – Suites et séries de fonctions + Correction | Arctan – Convergence absolue

Thèmes :

12 Exercices: Convergence simple / Convergence uniforme / Convergence localement uniforme / Intégrale de Gauss / Polynôme de Bernstein / Théorème de Weierstrass / Arctan / Fonction continue / Convergence absolue / Convergence normale / Formule de Stirling /

Extrait :

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable
Exercice 1
Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement
uniforme)
1) (**) =
2) (**)
3) (**)
.

Exercice 2 *** I
Pour n ∈ , on pose
1. Montrer que la suite converge uniformément sur R+ vers la fonction

2. A l’aide de la suite , calculer l’intégrale de GAUSS
dx

Exercice 3 *** I Polynômes de BERNSTEIN. Théorème de WEIERSTRASS
Soit f une application continue sur [0;1] à valeurs dans ℝ. Pour n entier naturel non nul, on définit le n-ème
polynôme de BERNSTEIN associé à f par

1. (a) Calculer quand f est la fonction 1, quand f est la fonction
, quand f est la fonction
(x-1).
(b) En déduire que

2. En séparant les entiers k tels que

et les entiers k tels que
donné, montrer
que la suite de polynômes converge uniformément vers f sur [0;1].
3. Montrer le théorème de WEIERSTRASS : soit f une application continue sur [a;b] à valeurs dans ℝ.
Montrer que f est limite uniforme sur [a;b] d’une suite de polynômes.

Exercice 4 ** I
Soit (Pn)n2N une suite de polynômes convergeant uniformément sur ℝ vers une fonction f . Montrer que f est
un polynôme.

Exercice 5 **
Soit
1. Montrer que f est de classe sur ]1,1[.
2. Calculer et en déduire que

Exercice 6 **
Soit
1. Domaine de définition de f . On étudie ensuite f sur ]1,+∝[.
2. Continuité de f et limites de f en 1 et +∝.
3. Montrer que f est de classe C1 sur ]1,+∝[ et dresser son tableau de variation.

Exercice 7 **
Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) …

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