Exercices • Suites et Séries de Fonctions

Exercices Analyse – Suites et séries de fonctions + Correction | Arctan – Convergence absolue

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par Erwin BORD

Thèmes :

12 Exercices: Convergence simple / Convergence uniforme / Convergence localement uniforme / Intégrale de Gauss / Polynôme de Bernstein / Théorème de Weierstrass / Arctan / Fonction continue / Convergence absolue / Convergence normale / Formule de Stirling /

Extrait :

Exercices Analyse – Suites et séries de fonctions + Correction | Arctan – Convergence absolue

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable
Exercice 1
Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement
uniforme)
1) (**) { f }_{ n }(x) = \frac { nx }{ 1+{ n }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }
2) (**) { f }_{ n }(x)={ e }^{ -x }\sum _{ k-0 }^{ n }{ \frac { { x }^{ k } }{ k! } }
3) (**) { f }_{ x }(x)=n(1-x{ ) }^{ n }sin(\frac { \pi x }{ 2 } )
.

Exercice 2 *** I
Pour n ∈ , on pose
1. Montrer que la suite converge uniformément sur R+ vers la fonction
f:x\longmapsto { e }^{ -x }
2. A l’aide de la suite , calculer l’intégrale de GAUSS
\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { e }^{ -{ x }^{ 2 } } } dx

Exercice 3 *** I Polynômes de BERNSTEIN. Théorème de WEIERSTRASS
Soit f une application continue sur [0;1] à valeurs dans ℝ. Pour n entier naturel non nul, on définit le n-ème
polynôme de BERNSTEIN associé à f par
{ B }_{ n }(f)=\sum _{ k=0 }^{ n }{ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) } f(\frac { k }{ n } ){ X }^{ k }(1-X{ ) }^{ n-k }
1. (a) Calculer { B }_{ n }(f) quand f est la fonction x\longmapsto 1, quand f est la fonction
x\longmapsto x, quand f est la fonction
x\longmapsto 1(x-1).
(b) En déduire que
\sum _{ k=0 }^{ n }{ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} } )(k-nX{ ) }^{ 2 }{ X }^{ k }(1-X{ ) }^{ n-k }=nX(1-X)
2. En séparant les entiers k tels que
|x-\frac { 1 }{ n } |>\alpha
et les entiers k tels que
|x-\frac { 1 }{ n } |\le \alpha (\alpha >0\quad) donné, montrer
que la suite de polynômes converge uniformément vers f sur [0;1].
3. Montrer le théorème de WEIERSTRASS : soit f une application continue sur [a;b] à valeurs dans ℝ.
Montrer que f est limite uniforme sur [a;b] d’une suite de polynômes.

Exercice 4 ** I
Soit (Pn)n2N une suite de polynômes convergeant uniformément sur ℝ vers une fonction f . Montrer que f est
un polynôme.

Exercice 5 **
Soit f(x)=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { { x }^{ n }sin(nx) }{ n } }
1. Montrer que f est de classe { C }^{ 1 } sur ]1,1[.
2. Calculer { f }^{ ' }(x) et en déduire que f(x)=\arctan { (\frac { xsinx }{ 1-xcosx } } )

Exercice 6 **
Soit f(x)=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { (-1{ ) }^{ n-1 } }{ ln(nx) } }
1. Domaine de définition de f . On étudie ensuite f sur ]1,+∝[.
2. Continuité de f et limites de f en 1 et +∝.
3. Montrer que f est de classe C1 sur ]1,+∝[ et dresser son tableau de variation.

Exercice 7 **
Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) …

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