Examen Suites et Séries de Fonctions | Coefficients de Fourier - Convergence

Thèmes :

Exercice 1: Série / Convergence / Convergence uniforme / Série de Taylor
Exercice 2: Série entière / Rayon de convergence /
Exercice 3: Fonction périodique / Coefficient de Fourier / Série de Fourier

Extrait :

Examen Suites et Séries de Fonctions | Coefficients de Fourier – Convergence

Exercice 1

On se propose d’étudier la série de fonctions $\sum { \frac { 1 }{ n } } sin\left( \frac { x }{ n } \right)$ où x ∈ ℝ

1. Montrer que $|sinx|\le |x|$ pour tout réel x.

2. Pour quelles valeurs de x la série est-elle convergente?
On note alors S(x) sa somme.

3. La série converge-t-elle uniformément sur tout intervalle [-a, a] où a est un nombre
réel strictement positif ?

4. Démontrer que pour tout entier p>0, on a :
$\sum _{ q=p }^{ q=2p }{ \frac { 1 }{ q } } \ge \frac { 1 }{ 2 }$

5. Démontrer que pour tout entier p>0, on a :
$\sum _{ q=p }^{ q=2p }{ \frac { 1 }{ q } } sin\left( \frac { p }{ q } \frac { \pi }{ 2 } \right) \ge \frac { 1 }{ 2 }$
6. La série converge-t-elle uniformément sur ℝ ?
7. La fonction S est-elle indéﬁniment dérivable ?

8. La série de Taylor de S en zéro converge —t-elle sur ℝ tout entier ?

Exercice 2

On considère l’équation différentielle (E) suivante :
xy’’+2y’+xy=0 avec y(0)=1

On suppose que cette équation admet une solution y développable en série entière dans un intervalle [-R, R] où ℝ est un réel strictement positif. On écrit alors
$y(x)=\sum _{ n=0 }^{ +\infty }{ { a }_{ n } } { x }^{ n }$
1. Calculer a₀
2. Calculer a₁ puis déterminer une relation entre ${ a }_{ n+1 }$ et ${ a }_{ n-1 }$ pour n>0.
3. Déduire de questions précédentes la valeur de an, et le développement de y
+0 _1 k

4. Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum _{ k=0 }^{ +\infty }{ \frac { (-1{ ) }^{ k } }{ (2k+1)! } } { x }^{ k }$ , puis le rayon de convergence de la solution y.

5. Exprimer y 51 l’aide de la fonction sinus.

Exercice 3

Suit I‘ la fonction $2\pi$ -périodique impaire déﬁnie par :

g(x)=xf(1) pour x ∈ [0,1]
et g(x)=f(x) pour x ∈ [1, $\pi$ ]

1. Tracer le graphe de la fonction g sur l’intervalle [ $-2\pi$ , $2\pi$ ].

2. Calculer les coefficients de Fourier et la série de Fourier de g

3. En déduire la valeur de 2 Sm n .
n=l n

On considere la fonction 211:—périodique impaire g déﬁnie par
g(x) = xf(1) pour x E [0, 1]
et g(x)= f(x) pour xe [ l,1t]

4. Tracer le graphe de la fonction g sur l’intervalle [ $-2\pi$ , $2\pi$ ]

5. Calculer les coefficients de Fourier et la série de Fourier de g.

6. En déduire la valeur de .
$\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { \left( \frac { sinn }{ n } \right) }^{ 2 } }$
7. Déduire de ce qui précède l’égalité :
$\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { sinn }{ n } } =\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { \left( \frac { sinn }{ n } \right) }^{ 2 } }$

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